lec8
.pdf
В.Н. Исаков Статистическая теория радиотехнических систем (курс лекций) strts-online.narod.ru
8.Различение сигналов
8.1.Постановка задачи различения сигналов
Среда, где распространяется сигнал
РПдУ 
+ 
РПУ
Рис.8.1. К постановке задачи различения сигналов
Радиопередающее устройство (РПдУ) на интервале времени
передаѐт один из |
детерминированных (квазидетермини- |
|
рованных) сигналов |
длительностью |
с вероятно- |
стью . Распространяясь от РПдУ к радиоприѐмному устройству (РПУ), сигнал подвергается искажающему воздействию аддитивной помехи в виде центрированного белого гауссова шума
со спектральной плотностью мощности . В ре-
зультате чего на входе РПУ наблюдается реализация процесса , который представляет собой смесь сигнала и шума:
. (8.1)
Требуется определить правило и соответствующую ему структуру устройства (различителя), которое оптимальным образом по результатам обработки реализации процесса позволяет принять решение о том, какой из сигналов передавался.
8.2. Критерий идеального наблюдателя (критерий Котельникова)
Задача различения сигналов является вероятностной. Каждому акту различения сигналов предшествует наступление одного из событий
.
Эти события являются доопытными или априорными, также называются гипотезами. Каждая гипотеза реализуется с вероятностью . Совокупность гипотез образует пол-
В.Н. Исаков Статистическая теория радиотехнических систем (курс лекций) strts-online.narod.ru
ную группу событий, поэтому |
|
.. |
(8.2) |
В результате каждого опыта по различению сигналов возни- |
|
кает одно из событий |
|
|
, |
. |
|
Эти события являются после опытными или апостериорными. |
|
Рассмотрим случай, когда реализация процесса |
обраба- |
тывается дискретно, используемые далее обозначение и период дискретизации соответствуют п.7.3.
В соответствии с критерием идеального наблюдателя в оп-
тимальном различителе решение |
принимается в том случае, |
|
когда реализация гипотезы |
является наиболее вероятной при |
|
условии, что наблюдается набор отсчѐтов обрабатываемой реали-
зации |
, иначе говоря, выполняется система неравенств: |
||
|
|
|
(8.3а) |
|
, |
||
или |
|
|
|
|
. |
(8.3б) |
|
|
8.3. Правило принятия решения |
||||||
|
Преобразуем выражение для условной вероятности гипоте- |
||||||
зы |
с учѐтом теоремы о произведении событий и (3.3): |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.
Возвращаясь к системе неравенств (8.3а), получим правило принятия решения в виде:
. (8.4)
Обозначим
В.Н. Исаков Статистическая теория радиотехнических систем (курс лекций) strts-online.narod.ru
. |
(8.5) |
Функция (8.5) называется отношением правдоподобия для k-го и m-го сигналов и показывает во сколько раз вероятность получить набор отсчѐтов обрабатываемой реализации при условии, что имеет место гипотеза , больше, чем при условии, что имеет
место гипотеза |
. |
|
|
|
С учѐтом введѐнного обозначения правило принятия реше- |
||||
ния (8.4) перепишем следующим образом: |
|
|||
|
|
|
|
(8.6) |
|
. |
|||
Преобразуем выражение для отношения правдоподобия
(8.5)
(8.7)
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где |
|
- ПРВ шума; |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
- отношение ПРВ смеси сигнала |
||||
|
|
|
|
|||||
|
и шума к ПРВ шума. |
|
|
|
|
|||
|
Плотность распределения вероятности шума можно фор- |
|||||||
мально рассматривать, как ПРВ процесса |
|
|
на входе различи- |
|||||
теля, когда не передаѐтся ни один из сигналов, либо передаѐтся равный нулю сигнал. Это соответствует введению так называемой нулевой гипотезы . Вероятность нулевой гипотезы равна
нулю, если все сигналы ансамбля |
отличны от нуля |
||||
|
. Таким образом |
|
|
||
|
|
|
|
|
(8.8) |
|
|
|
|
|
|
представляет собой отношение правдоподобия (7.16) для сигнала , введѐнное при решении задачи обнаружения сигнала.
С учѐтом (8.7) правило принятия решения (8.6) перепишем в виде:
, (8.9а)
В.Н. Исаков Статистическая теория радиотехнических систем (курс лекций) strts-online.narod.ru
или
. (8.9б)
Переходя к непрерывной обработке сигналов из (8.9) нахо-
дим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(8.10а) |
|
. |
(8.10б) |
||||
|
8.4. Различение детерминированных сигналов |
|
||||
|
8.4.1. Структура оптимального различителя |
|
||||
|
детерминированных сигналов |
|
||||
|
Отношение правдоподобия для детерминированного сигна- |
|||||
ла |
даѐтся (7.27) |
|
||||
|
|
|
|
|
|
(8.11) |
|
|
|
|
|
|
|
В соответствии с правилом принятия решения (8.10) оптимальный различитель осуществляет сравнение между собой величин , при этом вместо них можно использовать любую монотонную функцию, в частности логарифм:
, |
(8.12) |
тогда (8.10а) имеет вид:
, (8.13)
а подстановка (8.12) в (8.13) даѐт
|
, |
|||
|
(8.14) |
|||
где |
|
|
|
. |
|
|
|||
Структурные схемы различителя сигналов, соответствующие (8.14), показаны на рис.8.2 – 8.3. На рисунках «К» обозначает коррелятор (см. рис.5.2); «СВМ» - схема выбора максимума;
«СФm» - согласованный фильтр для сигнала |
|
. Согласован- |
ные фильтры выполняются с параметрами |
, |
. Опти- |
мальный различитель представляет собой многоканальное устройство, в каждом из каналов которого по результатам обработки реализации определяется величина . Схема выбора
В.Н. Исаков Статистическая теория радиотехнических систем (курс лекций) strts-online.narod.ru
максимума определяет канал с максимальным откликом.
К ∑
К 
∑ 
СВМ
К ∑
Рис.8.2. Структурная схема различителя детерминированных сигналов с корреляторами
СФ0 
∑
СФ1 |
∑ |
СВМ
СФM-1 
∑
Рис.8.3. Структурная схема различителя детерминированных сигналов
ссогласованными фильтрами
Вчастном случае, когда сигналы передаются с одинаковой
В.Н. Исаков Статистическая теория радиотехнических систем (курс лекций) strts-online.narod.ru
вероятностью, а их энергии равны
|
|
|
, |
|
правило (8.14) может быть переписано в виде: |
||||
|
||||
, |
(8.15) |
|||
при этом сумматоры в схемах рис.8.2-8.3 будут отсутствовать (ср. с рис.5.1). Принцип действия оптимального различителя основан на многоканальном сравнении обрабатываемого колебания с опорными сигналами. Решение о том, какой из сигналов передавался, принимается на основе определения канала с максимальным откликом сравнивающего устройства.
Подробного рассмотрения требует частный случай различения двух сигналов. Различение двух сигналов является довольно распространѐнным на практике случаем, характерным для цифровых систем передачи информации. Информация в таких системах представляется в двоичном виде с использованием двух логических символов – нуля и единицы. Соответственно радиопередающее устройство может передавать один из двух сигналов:
, соответствующий логическому нулю и , соответствующий логической единице.
В рассматриваемом частном случае (8.14) принимает вид:
,
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
(8.16а) |
|||||
где порог принятия решения |
|
|||||||
Рассмотрим разность |
|
|
|
|
|
|
. |
(8.17) |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
где |
- разностный сигнал. |
|
||||||
В результате имеем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
(8.16б) |
|||
Различные варианты структурных схем оптимального различителя двух детерминированных сигналов, соответствующие (8.16), показаны на рис.8.4.
В.Н. Исаков Статистическая теория радиотехнических систем (курс лекций) strts-online.narod.ru
К |
∑ |
h |
К
Рис.8.4.а. Структурная схема различителя двух сигналов с корреляторами, соответствующая (8.16а)
СФ1 
∑ 
h 
СФ0
Рис.8.4.б. Структурная схема различителя двух сигналов с согласованными фильтрами, соответствующая (8.16а)
К 
h 
Рис.8.4.в. Структурная схема различителя двух сигналов с коррелятором, соответствующая (8.16б)
СФ |
h |
Рис.8.4.г. Структурная схема различителя двух сигналов с согласованным фильтром, соответствующая (8.16б)
В.Н. Исаков Статистическая теория радиотехнических систем (курс лекций) strts-online.narod.ru
8.4.2. Помехоустойчивость различителя двух детерминированных сигналов
Помехоустойчивость различителя двух сигналов характеризуется вероятностью ошибочного приѐма (различения) . Чем меньше вероятность ошибочного приѐма, тем лучшее качество (помехоустойчивость) обеспечивает различитель. Под оши-
бочным приѐмом понимают событие |
, которое возникает в слу- |
|||||
чае, когда передаѐтся сигнал |
и принято решение, что пере- |
|||||
даѐтся сигнал |
или передаѐтся сигнал |
и принято реше- |
||||
ние, что передаѐтся сигнал |
, то есть |
|
|
|||
|
|
|
|
, |
|
(8.18) |
Учитывая, |
что события |
и |
несовместны, |
и применяя |
||
теоремы о сложении и умножении событий, можем записать: |
||||||
|
|
|
|
|
|
(8.19) |
|
|
|
|
|
|
, |
Для |
определения условных |
вероятностей |
и |
|||
(называемых вероятностями ошибок первого и второго рода) обратимся к схеме обнаружителя рис.8.4.в и будем рассматривать повторение опытов по различению сигналов. При этом следует считать, что на вход схемы воздействует случайный
процесс |
, а отклик |
коррелятора является случайной величи- |
|||||||
ной, принимающей в |
каждом |
|
опыте то или иное значение |
||||||
(рис.8.5). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
К |
|
|
|
h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис.8.5. К определению вероятностей ошибок первого и второго рода
Принятие решения |
о том, что передается сигнал |
|
|
при условии, что передавался сигнал |
(реализовалась гипо- |
||
теза ) означает, что отклик коррелятора |
превысил порого- |
||
вое значение при условии, что |
. Вероятность |
||
этого события на основании (3.19) равна |
|
|
|
|
|
, |
(8.20) |
В.Н. Исаков Статистическая теория радиотехнических систем (курс лекций) strts-online.narod.ru
где |
- ФРВ случайной величины |
. Случайная вели- |
чина |
является откликом коррелятора с опорным сигналом |
|
|
на воздействие в виде смеси сигнала |
и белого шума и, |
как установлено в п.5.2, имеет гауссов закон распределения (5.17) с математическим ожиданием (5.18)
|
|
|
|
|
|
|
(8.21) |
|
|
|
|
|
|
|
, |
где |
- коэффициент взаимной корреляции между сигналами |
||||||
и |
; |
- энергия сигнала |
. |
|
|||
Дисперсия случайной величины |
, в соответствии с (5.18), |
||||||
определяется энергией |
опорного сигнала коррелятора |
: |
|||||
|
|
|
|
|
, |
|
(8.22) |
|
|
|
|
|
|||
где
,
-среднее арифметическое энергий сигналов,
-нормированный коэффициент взаимной корреляции
сигналов. Отметим, что ввиду свойства (5.8), . Возвращаясь к (8.20), учитывая (3.42) и подставляя (8.17),
(8.21), (8.22), получим
(8.23)
,
В.Н. Исаков Статистическая теория радиотехнических систем (курс лекций) strts-online.narod.ru
где – максимальное отношение
сигнал/шум на выходе фильтра, согласованного с разностным сигналом.
|
Принятие решения |
о том, что передается сигнал |
|||
при условии, что передавался сигнал |
(реализовалась гипоте- |
||||
за |
) означает, что отклик коррелятора |
|
не превысил порого- |
||
вое значение при условии, что |
|
|
. Вероятность |
||
этого события на основании (3.12) равна |
|
|
|
||
|
|
|
|
, |
(8.24) |
где |
- ФРВ случайной величины |
. Случайная вели- |
|||
чина |
является откликом коррелятора с опорным сигналом |
||||
|
на воздействие в виде смеси сигнала |
|
и белого шума и, |
||
как установлено в п.5.2, имеет гауссов закон распределения (5.17) с математическим ожиданием (5.18)
|
|
|
(8.25) |
|
|
, |
|
- энергия сигнала |
. |
|
|
Дисперсия случайной величины |
, в соответствии с (5.18), |
||
определяется энергией |
опорного сигнала коррелятора |
и |
|
по-прежнему даѐтся (8.22). |
|
|
|
Учитывая (3.42) и подставляя (8.17), (8.21), (8.22) в (8.24), полу-
чим:
(8.26)
.
Подставив (8.23) и (8.26) в (8.19), для вероятности ошибоч-