Средние величины
Средняя величина – это обобщающий показатель, характеризующий типичный уровень явления. Он выражает величину признака, отнесенную к единице совокупности.
Средняя – это один из распространенных приемов обобщений. Важность средних величин для статистической практики и науки отмечалась в работах многих ученых: английский экономист В.Петти (1623-1667), бельгийский теоретик и статистик А.Кетле (1796-1874), русский статистик Ю.Э.Янсон (1835-1893) и т.д.
Общие принципы применения средних величин:
1. При определении средней величины в каждом конкретном случае нужно исходить из качественного содержания осредняемого признака, учитывать взаимосвязь изучаемых признаков, а также имеющиеся для расчета данные.
2. Средняя величина должна прежде всего рассчитываться по однородной совокупности. Качественно однородные совокупности позволяет получить метод группировок, который предполагает расчет системы обобщающих показателей.
3. Общие средние должны подкрепляться групповыми средними. Например, допустим, что анализ динамики урожайности отдельной сельскохозяйственной культуры показывает, что общая по республике средняя урожайность снижается. Однако известно, что урожайность этой культуры зависит от почвенных, климатических и других условий и различна в отдельных районах. Сгруппировав районы по признакам различия и проанализировав динамику групповых средних, можно обнаружить, что в отдельных группах районов средняя урожайность либо не изменилась, либо возрастает, а снижение общей средней по республике в целом обусловлено ростом удельного веса районов с более низкой урожайностью в общем производстве этой сельскохозяйственной культуры. Очевидно, что динамика групповых средних более полно отражает закономерности изменения урожайности, а динамика общей средней показывает лишь общий результат.
4. Необходим обоснованный выбор единицы совокупности, для которой рассчитывается средняя.
Средние величины делятся на два больших класса:
– степенные средние,
– структурные средние.
К степенным средним относятся наиболее известные и часто применяемые виды, как средняя геометрическая, средняя арифметическая и средняя квадратическая.
В качестве структурных средних рассматриваются мода и медиана.
Степенные средние
Степенные средние в зависимости от представления исходных данных могут быть простыми и взвешенными. Простая средняя рассчитывается по несгруппированным данным и имеет следующий общий вид:
,
где xi – значения (варианта) осредняемого признака, n – число значений варианты, m – показатель степени средней:
при m = –1 – средняя гармоническая,
при m 0 – средняя геометрическая,
при m = 1 – средняя арифметическая,
при m = 2 – средняя квадратическая,
при m = 3 – средняя кубическая.
Взвешенная средняя рассчитывается по сгруппированным данным и имеет общий вид:
,
где fi – частота, показывающая, сколько раз встречается i-е значение осредняемого признака.
Формулы для степенных средних приведены в таблице.
Таблица 7 – Виды степенных средних
Вид |
Пок-ль (m) |
Простая |
Взвешенная |
Гармоническая |
-1 |
|
|
Геометрическая |
0 |
|
|
Арифметическая |
1 |
|
|
Квадратическая |
2 |
|
|
Кубическая |
3 |
|
|
Для одних и тех же исходных данных действует правило мажорантности средних: с увеличением показателя степени m увеличивается и соответствующая средняя величина.
В статистической практике чаще всего используются средние арифметические и средние гармонические.
Основные свойства средней арифметической:
1. От уменьшения или увеличения частот каждого значения признака во сколько-то раз величина средней арифметической не изменится.
Следствие. При вычислении средней можно вместо абсолютных величин частот можно брать относительные (в долях или %).
2. Общий множитель индивидуальных значений признака может быть вынесен за знак средней.
3. Средняя суммы (или разности) двух или нескольких величин равна сумме (разности) их средних.
4. Если x = const, то средняя арифметическая равна этой константе.
Следствие. Если от каждого варианта вычесть (или прибавить) какое-то постоянное число, то средняя уменьшается (или увеличивается) на то же число.
5. Сумма отклонений значений признака от средней арифметической равна нулю.
Эти свойства позволяют во многих случаях упростить расчеты средней арифметической.
Средняя гармоническая имеет более сложную конструкцию, чем средняя арифметическая. Ее применяют для расчетов тогда, когда в качестве весов используются не единицы совокупности – носители признака, а произведения этих единиц на значения признака. К средней гармонической простой следует прибегать в случаях определения, например, средних затрат труда, времени, материалов на единицу продукции по нескольким предприятиям или рабочим, занятым изготовлением одного и того же изделия.
Пример.
Три промышленных предприятия заняты производством изделия А. Себестоимость производства на 1-м предприятии – 5 тыс.руб, на 2-м – 3 тыс.руб, на 3-м – 6 тыс.руб.
Необходимо определить среднюю себестоимость изделия при условии, что на каждом предприятии общие затраты на его изготовление составляют 60 тыс.руб.
Решение задачи с помощью средней арифметической простой (X = (5+3+6)/3 = 4,667 тыс.руб) было бы правильным, если бы каждой предприятие выпускало по одному изделию, но это не так, а потому
Средняя себест-ть изделия = (Общие затраты на произ-во)/(Количество произведенных изделий)
Рассчитываем количество произведенных изделий на каждом предприятии:
1) 60/5 = 12 шт.;
2) 60/3 = 20 шт.;
3) 60/6 = 10 шт.
Вычисляем среднюю себестоимость по формуле средней гармонической взвешенной:
тыс.руб.
Таким образом, в среднем на изготовление одного изделия было израсходовано 4,286 тыс.руб.
В качестве веса в этой задаче был принят показатель общих затрат на производство изделия, который представляет собой произведение себестоимости на количество единиц совокупности. Так как общие затраты на всех предприятиях одинаковы, то к аналогичному результату приводит и расчет по средней гармонической простой:
тыс.руб.
Главное требование к формуле расчета среднего значения заключается в том, чтобы все этапы расчета имели реальное содержательное обоснование; полученное среднее значение должно заменить индивидуальные значения признака у каждого объекта без нарушения связи индивидуальных и сводных показателей. Иначе говоря, средняя величина должна исчисляться так, чтобы при замене каждого индивидуального значения осредняемого показателя его средней величиной оставался без изменения некоторый итоговый сводный показатель, связанный тем или другим образом с осредняемым. Этот итоговый показатель называется определяющим, поскольку характер его взаимосвязи с индивидуальными значениями определяет конкретную формулу расчета средней величины.