LB_CSAU2

Лабораторна робота № 3

Дослідження перехідного процесу у цифровій автоматичній системі

Мета роботи:

Закріплення та поглиблення знань студентів при вивченні і дослідженні перехідних процесів у цифрових системах автоматичного управління.

У результаті виконання роботи студенти повинні:

• уміти розрахувати перехідний процес у цифровій автоматичній системі, користуючись зворотним z-зображенням;

• визначати показники якості роботи системи за кривою перехідного процесу;

• придбати практичні навички з розрахунку перехідних процесів у цифрових системах на ЕОМ.

Вихідні дані

Вихідними даними для виконання роботи є структурна схема (рис. 3.1) та параметри (табл. 3.1) досліджуваної системи.

Порядок виконання роботи

При виконанні лабораторної роботи радимо додержуватися такого порядку:

• записати z-передаточну функцію зведеної неперервної частини цифрової системи;

• с класти розрахункову структурну схему, згідно з якою записати різницеві рівняння цифрового регулятора та зведеної неперервної частини системи;

• розрахувати на ЕОМ перехідний процес у досліджуваній системі при одиничному ступінчастому вхідному впливові;

• записати z-передаточну функцію та різницеве рівняння замкнутої системи;

• знайти аналітичний розв'язок одержаного різницевого рівняння при одиничному ступінчастому вхідному впливові;

• в одній системі координат побудувати графіки перехідного процесу для всіх розглянутих випадків та визначити показники якості (максимальне перерегулювання, тривалість перехідного процесу та статичну похибку). Статичну похибку системи визначити також аналітично;

• зробити висновки з одержаних результатів.

Методичні поради

Якість роботи цифрових систем автоматичного управління визначається такими ж показниками, як і якість неперервних систем. Основними з них є: усталена (статична) похибка, величина максимального перерегулювання та час перехідного процесу.

Статичну похибку можна обчислити, використавши теорему про кінцеве значення оригіналу дискретного перетворення Лапласа:

де

Х(і) - дискретні значення функції X;

X(z) - z-зображення цієї функції.

Таблиця 3.1

Параметри досліджуваних систем до лабораторної роботи № 3

№ з/п	Схема на рис. 3.1	К1	К2	К3	Т1, с	Т2, с	Т3, с	Т, с
1	А	0,5	1	2,5	1	2,5	-	0,025
2	Б	1	0,4	3	0,5	1	2	0,05
3	В	0,1	0,4	3	1	2	-	0,05
4	а	0,75	0,6	1,8	0,5	0,54	-	0,02
5	б	0,7	0,2	5	1	0,8	3	0,1
6	в	0,2	0,6	2	0,5	2,5	-	0,02
7	а	1	1,4	1,4	0,8	0,78	-	0,03
8	б	0,7	0,2	4	1	0,4	1,8	0,05
9	в	0,4	0,2	1,6	0,8	3,2	-	0,05
10	а	1,2	0,7	2,8	1,2	1,24	-	0,02
11	б	1,2	0,5	4	0,5	0,4	1,8	0,05
12	в	0,2	0,5	1,6	0,8	3,2	-	0,05
13	а	1	1,4	1,2	0,75	1,75	-	0,025
14	б	1	0,35	6	0,8	2	4	0,05
15	в	0,4	0,4	1	0,3	1,2	-	0,02
16	а	1,6	0,4	3,4	2	2,5	-	0,02
17	б	0,5	0,5	6	0,5	2	4	0,05
18	в	0,5	0,5	0,5	2	4	-	0,1

Для цифрової системи вірним буде вираз

(3.1)

Тут

Ф(z) - z-передаточна функція цифрової системи;

X_з(z) - z-зображення вхідної величини.

Аналогічно можна знайти також усталену похибку

(3.2)

У виразі (3.2)

Е - різниця між заданим та дійсним значеннями керованої величини (похибка);

Ф_Е(z) – z-передаточна функція замкнутої цифрової системи по похибці.

Якщо на вхід системи подавати одиничний ступінчастий сигнал

(3.3)

Отже, у цьому випадку усталену похибку можна визначити, якщо в z передаточну функцію цифрової системи по похибці Ф_Е(z) замість z підставити 1.

Нагадуємо, що z-передаточну функцію Ф_Е(z) можна знайти, маючи z-передаточну функцію розімкнутої цифрової системи,

Z-передаточна функція одноконтурної цифрової системи дорівнює добутку з z-передаточних функцій регулятора D(z) та зведеної неперервної частини W_ПН(z)

W(z} = D(z}-W_ПН(z}. (3.4)

Тривалість перехідного процесу та його перерегулювання можна оцінити, маючи перехідну характеристику системи.

Приклад 3.1. Для цифрової системи, структурна схема якої задана на рис. 3.2а, знайти z-передаточну функцію W_ПН(z) зведеної неперервної частини. Скласти розрахункову структурну схему згідно з z-передаточними функціями цифрового регулятора та зведеної неперервної частини. Записати різницеві рівняння для регулятора та зведеної неперервної частини. Користуючись таблицями зворотного z-перетворення, знайти аналітичний вираз для розрахунку перехідної характеристики замкнутої системи. Визначити також усталену похибку при одиничному ступінчастому вхідному впливові. Записати також різницеве рівняння замкнутої системи.

Z-передаточна функція зведеної неперервної частини

З урахуванням (3.5) складаємо розрахункову структурну схему системи (рис. 3.2, 6), згідно з якою запишемо різницеві рівняння елементів системи в z-формі:

для регулятора

R₁(z} = K₁E(z]

(3.6)

R₃(z) = F(z) = R_l(z) + R₂(z);

для зведеної неперервної частини

(3.7)

Переходимо тепер до різницевих рівнянь у часовій формі:

для регулятора

R₁(n + l) = K_lE(n + l)

R₂(n + 1) = R₂(n) + 0,5К₂Т[Е(n + 1)-Е(n)] (3.8)

R₃(n + l) = F(n + l) = R₁(n + 1)+R₂(n + l);

для зведеної неперервної частини

(3.9)

Згідно з рис. 3.2,б, враховуючи задані параметри, запишемо z-передаточні функції цифрового регулятора D(z) та зведеної неперервної частини W_зн (z)

(3.10)

Z-передаточна функція розімкнутої системи

(3.11)

Z-передаточна функція замкнутої системи

(3.12)

Z-передаточна функція системи за похибкою

Підставивши в (3.13) z = l, визначаємо, що усталена похибка Е_уст = 0.

При запишемо z-зображення керованої величини системи

(3.14)

Скориставшись методом невизначених коефіцієнтів, вираз (3.14) можна записати так

Згідно з таблицею зворотного z-перетворення записуємо аналітичний вираз для кривої перехідного процесу

Х(і) = 1(і)-1,042(0,902)^і + 0,042(0,949)^і. (3.16)

Маючи z-передаточну функцію Ф(z) замкнутої системи, можемо записати різницеве рівняння в z-формі

(z²-l,851z. + 0,856)Х(z) = (0,lz-0,095)U(z), (3.17)

або ж у часовій формі

Х(n + 2}-1,851Х(n + 1) + 0,856Х(n) = 0,1 U(n + 1)-0,095 U(n).

Для коефіцієнтів цього рівняння вводимо позначення

а₀ = 0,856; а₁ = -1,851; а₂ = 1; b₀ = -0,095; b₁ = 0,1.

Склад звіту

Структурна схема досліджуваної системи.

Вирази для z-передаючних функцій та різницевих рівнянь.

Аналітичний вираз для розрахунку кривої перехідного процесу.

Розрахунок усталеної похибки системи.

Результати розрахунку перехідних характеристик аналітичним шляхом та на ЕОМ у вигляді таблиць і графіків.

Висновки за результатами виконаної роботи.

Запитання для контролю

Якими основними показниками можна характеризувати якість роботи цифрової системи?

Як записати z-передаточну функцію зведеної неперервної частини?

Як записати z-передаточну функцію розімкнутої (замкнутої) цифрової системи?

Як записати z-передаточну функцію системи по похибці?

Як визначити усталену похибку в цифровій системі?

Які Ви знаєте способи аналітичного розрахунку координат перехідної характеристики цифрової системи? В чому вони полягають?

Як, маючи z-передаточну функцію, записати різницеве рівняння цифрової системи?

У чому полягає перевага розрахунку якості роботи цифрової системи на ЕОМ?

Які рівняння використовуються для розрахунку перехідного процесу в цифровій системі?