- •Глава I. Элементы теории вероятностей. Случайные процессы и величины
- •Функция и плотность распределения
- •Параметрызакона распределения
- •Примеры законов распределения
- •ГлаваIi. Распределение Максвелла
- •Характерные скорости
- •Зависимость распределения от температуры
- •Формула Максвелла в приведенном виде.
- •20 ©Мати, 2004
Характерные скорости
Полученные выражения для распределения по скоростям позво-ляют установить некоторые характеристики этого распределения. Это три скорости движения молекул газа: наиболее вероятная , средняяи среднеквадратичная.
Наиболее вероятной скорости соответствует максимум функции распределения, который находится из условия ра-венства нулю производнойпо скорости:
(2.9)
или, опуская постоянные множители:
(2.10)
Данному уравнению удовлетворяют три значения скорости:
1.
2. . Оба значения соответствуют минимумам.
3. Значение , обращающее в нуль выражение, и дает нам искомую наиболее вероятную скорость:
, (2.11)
где - молярная масса газа.
Средняя скорость (имеется в виду средняя арифметическая скорость) по определению
(2.12)
Среднеквадратичная скоростьнаходится из условия
, (2.13)
откуда
(2.14)
Поскольку функция распределения Максвелла несимметрична относительно наиболее вероятного значения, то и для трёх харак-терных скоростей значения различны. Вместе с тем наблюдается постоянное соотношение характерных скоростей:
(2.15)
Зависимость распределения от температуры
Подставив выражение для наиболее вероятной скорости в выражение для функции распределения, найдем максималь-ное значение:
(2.16)
Отсюда видно, что при увеличении температуры (при постоян-ной массе молекул) или уменьшении массы молекул(при постоян-ной температуре) максимум функции смещается в сторону больших скоростей, а величина максимума уменьшается. При этом площадь под кривой остается равной единице. Наглядно зависи-мость можно представить в виде трёх кривых, которые можно рас-сматривать как кривые функции для постоянной темпера-туры прилибо для постоянной массы при(рис.10)
Формула Максвелла в приведенном виде.
Для решения ряда задач гораздо удобней выражать скорости молекул в относительном виде– в единицах наиболее вероятной скорости .
За единицу принимается относительная скорость молекулы:
(2.17)
При переходе к новой переменной должно выполняться равен-ство:
(2.18)
Отсюда
(2.19)
Заменив в правой части на, получим:
(2.20)
В таком виде распределение Максвелла является универсаль-ным– оно не зависит ни от температуры, ни от рода газа.
Данная формула является удобной даже для определения моду-ля скорости (а не относительной скорости). С учетом того, что , формула Максвелла примет вид:
(2.21)