- •Глава I. Элементы теории вероятностей. Случайные процессы и величины
- •Функция и плотность распределения
- •Параметрызакона распределения
- •Примеры законов распределения
- •ГлаваIi. Распределение Максвелла
- •Характерные скорости
- •Зависимость распределения от температуры
- •Формула Максвелла в приведенном виде.
- •20 ©Мати, 2004
Параметрызакона распределения
Каждый закон распределения представляет собой некоторую функцию, и указание этой функции полностью описывает случай-ную величину с вероятностной точки зрения. Однако на практике часто нет необходимости характеризовать случайную величину полностью, достаточно указать отдельные числовые параметры, до некоторой степени характеризующие существенные черты распре-деления случайной величины, например, какое–то среднее значе-ние, какое–либо число, характеризующее степень разбросанности значений случайной величины относительно среднего.
Основной характеристикой случайной величины является мате-матическое ожидание, которое иногда называют просто средним значением случайной величины. Рассмотрим дискретную случай-ную величину , принимающую значенияс вероят-ностями, соответственно,. Для того чтобы охаракте-ризовать каким–то числом положение значения случайной величи-ны на оси абсцисс с учетом того, что эти значения имеют различ-ные вероятности, удобно воспользоваться так называемым “сред-ним взвешенным” из значений, причем каждое значениепри осреднении должно учитываться с “весом”, пропорциональным ве-роятности этого значения. Вычисленное среднее значениебу-дет называться математическим ожиданием случайной величины:
(1.10)
Поскольку сумма вероятностей всех возможных значений слу-чайной величины равна единице (), если события несов-местные, то математическое ожидание рассчитывается по формуле:
(1.11)
Итак, математическим ожиданием называется сумма произведе-ний всех возможных значений случайной величины на вероятности этих значений. Для непрерывных случайных величин математи-ческое ожидание определяется по формуле:
(1.12)
Математическое ожидание случайной величины относится к так называемым начальным моментам случайной величины, характе-ризующим положение случайной величины. Начальным моментом -го порядка случайной величины называется сумма вида:
(1.13)
для дискретных случайных величин; и
(1.14)
для непрерывных случайных величин.
Таким образом, математическое ожидание является начальным моментом первого порядка или первым начальным моментом. Оче-видна физическая интерпретация математического ожидания: если на оси в точках располагаются массы, то первый начальный момент определит положение центра массна оси . Для пространственного случая будет определено положение центра масс в пространстве относительно точки начала отсчета.
Пользуясь определением математического ожидания, можно дать следующее определение начального момента: начальным мо-ментом -го порядка случайной величины называется математи-ческое ожидание -й степени этой случайной величины:
(1.15)
Другими важными характеристиками распределения случайной величины являются так называемые центральные моменты.
Назовем отклонением (или флуктуацией) случайной величи-ны разность между значениемслучайной величины и ее матема-тическим ожиданием:
(1.16)
Другое название флуктуации случайной величины – это цен-трированная случайная величина, соответствующая величине . Центрирование случайной величины равносильно переносу начала координат в точку, координата которой равна математическому ожиданию.
Моменты центрированной случайной величины носят название центральных моментов. Они равносильны моментам относитель-но центра масс в механике.
Таким образом, центральным моментом –го порядка случай-ной величины называется математическое ожидание –й степе-ни соответствующей центрированной величины:
(1.17)
Для дискретной случайной величины –й центральный момент выражается суммой:
, (1.18)
а для непрерывной- интегралом:
(1.19)
Для любой случайной величины первый центральный момент равен нулю:
, (1.20)
так как математическое ожидание центрированной случайной величины всегда равно нулю.
Большое значение для характеристики распределения случайной величины имеет второй центральный момент, называемый диспер-сией случайной величины, который представляет собой мате-матическое ожидание квадрата отклонения случайной величины:
(1.21)
для дискретных случайных величин;
(1.22)
для непрерывных случайных величин.
Дисперсия случайной величины характеризует рассеяние значе-ний случайной величины относительно математического ожидания. Механическая интерпретация второго центрального момента (дис-персии) – это момент инерции тела относительно центра масс.
Для наглядной характеристики рассеивания случайной величи-ны удобней пользоваться величиной, размерность которой совпада-ет с размерностью самой случайной величины. Для этого из дис-персии извлекают квадратный корень, и полученная величина но-сит название среднего квадратичного отклонения случайной вели-чины :
(1.23)
Для характеристики асимметрии распределения используют тре-тий центральный момент, он имеет размерность куба случайной ве-личины; чтобы получить безразмерную величину, его делят на куб среднего квадратичного отклонения :
(1.24)
Полученная величина называется коэффициентом асимметрии или просто асимметрией.
Четвертый центральный момент характеризует остро- или плос-ковершинность распределения. Соответствующий коэффициент на-зывается эксцессом и рассчитывается как
(1.25)
Число 3 вычитается потому, что для самого распространенного в природе нормального закона, который мы рассмотрим позже, от-ношение . Таким образом, для нормального закона эксцесс равен нулю; более островершинные законы будут иметь положи-тельный эксцесс, более плосковершинные – отрицательный.