Лабораторные работы по стастической физике

Глава I. Элементы теории вероятностей. Случайные процессы и величины

Большинство разделов физики оперируют достаточно неболь-шим количеством объектов и связей между ними. При описании же процессов, происходящих в веществе, мы вынуждены рассматри-вать огромное количество объектов – молекул. Реальное вещество состоит из очень большого количества молекул. Например, в обыч-ном состоянии в 12 граммах изотопа углерода содержится N=6,02^.10²³ молекул (число Авогадро). С точки зрения обычной механики, для каждой молекулы надо было бы записать уравнение движения:

, где (1.1)

Более того, для решения системы из N векторных уравнений необходимо будет записать эти уравнения в проекциях сил на 3 оси координат. Итого, для N молекул мы запишем 3N уравнений. Ре-шать такое количество уравнений совместно невозможно даже с применением современной вычислительной техники. Время реше-ния подобной системы уравнений во много раз превышает время, за которое рассматриваемая система молекул изменит свое состоя-ние. Отсюда видно, что для описания большого коллектива частиц невозможно пользоваться динамическим методом. Для описания таких коллективов прибегают к статистическому (вероятностному) и термодинамическому методам.

Основной особенностью статистических методов является их вероятностный характер: рассматриваемый процесс представляется как процесс случайный, и выводятся некоторые закономерности для него.

На практике часто приходится сталкиваться со случайными про-цессами. Случайность – это неустановленная закономерность. И в большинстве случаев бывает гораздо выгоднее статистически опи-сать случайный процесс, нежели определять закономерность полу-чения того или иного результата и учитывать всю совокупность параметров, приводящих к конкретному результату.

Случайным процессом называется такой процесс, который при неоднократном воспроизведении одного и того же опыта протекает каждый раз несколько по–иному. Например, к случайным процес-сам можно отнести бросание монеты или игральной кости. Каждый из этих процессов безусловно подчиняется хорошо известным фи-зическим законам. Вместе с тем, описать каждый конкретный слу-чай достаточно сложно – он зависит от очень большого количества условий. Поэтому процесс можно считать случайным.

Каждому случайному процессу можно поставить в соответствие случайную величину, характеризующую этот процесс. Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, причем заранее неизвестно, какое именно. Случайные величины разделяются на дискретные, возмож-ные значения которых могут быть заранее просчитаны, и непрерыв-ные, непрерывно заполняющие некоторый промежуток. В нашем примере с монетой случайная величина, описывающая процесс бросания, может принимать два значения: или Р(решетка) или О(орел). Случай, когда монета встает на ребро, происходит очень редко, поэтому учитывать его не будем. Для математического опи-сания случайной величины лучше присваивать ей численные значе-ния, скажем, 0 для решетки, и 1 для орла. В примере с игральной костью за случайную величину удобно принять количество очков, выпавших при бросании. Случаи, когда кость встает на ребро или на вершину, также не учитываются.

Статистической вероятностью появления определенного значенияслучайной величиныназывается отношение коли-чествапоявлений данного значения случайной величинык общему количествупроведенных опытов:

(1.2)

Статистическая вероятность является величиной оценочной, приблизительной. Она рассчитывается по ограниченному количест-ву опытов. Если провести опыт с бросанием монеты 10 раз , то можно получить результат, при котором решетка выпадет 7 раз. Отсюда статистическая вероятность выпадения решетки Это значение достаточно далеко от истинного (при условии, что обе стороны монеты равноправны). Для получе-ния более точных характеристик необходимо увеличить количество опытов и рассчитатьвероятность появления решетки. При доста-точно большом количестве опытов станет ясно, что вероятность выпадения орла равна вероятности выпадения решетки. Обе эти вероятности имеют одно и то же значение: .

Вероятностью появления определенного значенияназы-вается предел статистической вероятности при стремлении коли-чества опытов к бесконечности:

(1.3)

Событием называется всякий факт, который в результате прове-дения опыта может произойти или может не произойти.

Несовместными событиями называются события, которые не могут произойти одновременно в результате одного опыта. Напри-мер, невозможно выпадение и орла и решетки одновременно.

Независимыми событиями называются такие события, возник-новение которых не зависит друг от друга.

Для несовместных и независимых событий можно сформулиро-вать следующие свойства вероятностей:

1. Вероятность того, что произойдет хотя бы одно из событий илиравна сумме вероятностей происхождения этих событий:

(1.4)

2. Вероятность того, что сразу после события произойдет со-бытие, равна произведению вероятностей происхождения этих событий:

(1.5)

Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значе-ниями случайной величины и соответствующими им вероятностя-ми.