Вариант 8

1. Найти область определения функции .

2. Построить линии уровня функции .

3. Вычислить частные производные первых и вторых порядков функции двух переменных .

4. Вычислить полный дифференциал функции в точке .

5. Исследовать на экстремум функцию .

6. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в прямоугольнике, ограниченном прямыми х = -1 , х = 1, у = 0, у = 4.

7. Найти градиент функции в точке .

8. Найти наибольшую скорость возрастания функции при переходе через точку .

9. Провести касательную прямую к плоской линии, заданной уравнением в точке .

10. Экспериментально получены пять значений искомой функции у=f(x) при пяти значениях аргумента, которые записаны в таблице. Методом наименьших квадратов найти функцию у=f(x) в виде у=ах+b.

х	1	2	3	4	5
у	5,5	6,5	5,0	3,0	3,5

11. Вычислить двойной интеграл , где D – область, ограниченная линиями .

12. Из круглого бревна , диаметр которого d требуется вырезать балку прямоугольного поперечного сечения. Каковы должны быть ширина и высота этого сечения , чтобы балка оказывала наибольшее сопротивление на изгиб?

Замечание. Сопротивление балки на изгиб пропорционально произведению ширины х ее поперечного сечения на квадрат его высоты у Q=kxy², k=const.

Вариант 9

1. Найти область определения функции .

2. Построить линии уровня функции .

3. Вычислить частные производные первых и вторых порядков функции двух переменных .

4. Вычислить полный дифференциал функции в точке .

5. Исследовать на экстремум функцию .

6. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в прямоугольнике, ограниченном прямыми х = -1 , х = 1, у = 0, у = 5.

7. Найти градиент функции в точке .

8. Найти наибольшую скорость возрастания функции при переходе через точку .

9. Провести нормальную плоскость к кривой , в точке .

10. Экспериментально получены пять значений искомой функции у=f(x) при пяти значениях аргумента, которые записаны в таблице. Методом наименьших квадратов найти функцию у=f(x) в виде у=ах+b.

х	1	2	3	4	5
у	5,7	6,7	5,2	3,2	3,7

11. Вычислить двойной интеграл , где D– область, ограниченная линиями .

12. Требуется изготовить из жести ведро без крышки данного объема V, цилиндрической формы. Каковы должны быть высота цилиндра и радиус основания, чтобы на изготовление ведра ушло наименьшее количество материала?

Вариант 10

1. Найти область определения функции .

2. Построить линии уровня функции .

3. Вычислить частные производные первых и вторых порядков функции двух переменных .

4. Вычислить полный дифференциал функции в точке .

5. Исследовать на экстремум функцию .

6. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в прямоугольнике, ограниченном прямыми х = 0 , х = 6, у = -1, у = 1.

7. Найти градиент функции в точке .

8. Найти производную функции в направлении ее градиента в точке .

9. Написать уравнение касательной плоскости к эллипсоиду в точке .

10. Экспериментально получены пять значений искомой функции у=f(x) при пяти значениях аргумента, которые записаны в таблице. Методом наименьших квадратов найти функцию у=f(x) в виде у=ах+b.

х	1	2	3	4	5
у	5,9	6,9	5,4	3,4	3,9

11. Вычислить двойной интеграл , где – область, ограниченная линиями .

12. При каких линейных размерах закрытая цилиндрическая банка данной вместимости V будет иметь наименьшую полную поверхность?