МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ
Камский институт инженерных и гуманитарных технологий
АВЕРЬЯНОВ В.Е., ПОРЦЕВА Л.И., БАРАНОВА Н.А.
МАТЕМАТИКА
УЧЕБНО-ПРАКТИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ
Задания контрольной работы
ИЖЕВСК 2005
РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ И ОФОРМЛЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
Основной формой обучения студента-заочника является самостоятельная работа над учебным материалом, которая состоит из следующих элементов: изучение материала по учебникам, решение задач, самопроверка, выполнение контрольных работ.
При выполнении и оформлении контрольных работ необходимо соблюдать
следующие правила:
1) контрольная работа выполняется в отдельной тетради, а не на листках, обязательно чернилами или шариковой ручкой (цвет чернил или пасты – любой, кроме красного) с полями шириной 4-5 см для замечаний рецензента;
2) на обложке тетради должны быть ясно написаны фамилия студента, его инициалы, учебный номер (шифр), номер контрольной работы и дата отсылки работы в институт;
3) в работу должны быть включены все задания. Задачи и их решения располагаются в порядке возрастания номеров, перед решением задачи должен быть записан ее номер и ее условие. Условие задачи переписывается полностью, без сокращения слов.
4) решение задачи должно начинаться со слова “Решение”. Само решение должно представлять собой связный текст, а не голый набор формул и преобразований, причем пояснительный текст должен быть минимально необходимым. Окончательный результат решения задачи необходимо выделить с предшествующим ему словом “Ответ”.
4) Если в работе имеются ошибки, студент должен выполнить все требования преподавателя, изложенные в рецензии, и отправить работу с исправлениями на повторную проверку. Поэтому рекомендуется при выполнении контрольной работы оставлять в конце тетради несколько чистых листов для их исправления и дополнения.
5) Никакие исправления в тексте уже проверенной работы не допускаются. Все исправления записываются после рецензии преподавателя с указанием номера задачи, к которой они относятся.
6) В случае незачета работы и отсутствия прямого указания рецензента на то, что студент может ограничиться представлением исправленных решений отдельных задач, вся работа должна быть выполнена заново.
Контрольные работы, выполненные с нарушением изложенных требований или выполненные студентами не по своему варианту, не засчитываются и возвращаются без проверки.
Контрольные работы должны выполнятся самостоятельно. Несамостоятельно выполненная работа не дает возможности преподавателю-рецензенту указать студенту на недостатки в его работе, в усвоении им учебного материала; в результате чего студент не приобретает необходимых знаний и может оказаться неподготовленным к устному зачету и экзамену.
Каждую контрольную работу после проверки студент предъявляет к защите.
На защите студент должен объяснить и, в случае необходимости, защитить свое решение, ответить на поставленные преподавателем вопросы по решенным в работе задачам. Без предъявления защищенных работ студент не допускается к сдаче зачета и экзамена.
Список рекомендуемой литературы Основная
Аверьянов В.Е., Никулин В.А., Понамарев В.А. Математика: Учеб. Пособие / Под ред. В.А. Никулина.- Ижевск, КИГИТ, 2004.
Баврин И.И., Матросов В.Л. Общий курс высшей математики. – М.: Просвещение, 1995.
Данко П.Е.,Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Учебное пособие для вузов – М.: Высшая школа, 1999.
Шипачев В.С. Высшая математика. Учебник для вузов. - М.:Высшая школа,2003.
Дополнительная
Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математики для инженеров и учащихся втузов. М.: Наука, 1980.
Высшая математика для экономистов / Н.Ш. Кремер, Б.А. Путко, И.М. Тришин, М.Н. Фридман. – М.: ЮНИТИ, 2000.
Беклкмемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – М.: Наука, 1976.
Никольский С.М. Курс математического анализа. – М.: Наука, 1983. – Т.1.
Баврин И.И. Курс Высшей математики. – М.: Просвещение, 1992.
Пример 1.
Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвестными. Доказать ее совместност ь и решить тремя способами: 1) с помощью формул Крамера; 2) методом матричного исчисления; 3) методом Гаусса.
1) x1 - 5х2 + 2х3 = 6
3x1 - х2 - х3 = - 3
-2x1 + 2х2 + 3х3 = 3
Решение .Вычислим определитель системы.
∆= = 1∙(-1)∙3 + (-5)∙(-1)∙(-2) + 2∙3∙2 - 2∙(-1)∙(-2) – (-5)∙3∙3 - 1∙(-1)∙2=42.
Так как ∆≠0, то система совместна и имеет единственное решение.
Найдем ∆1, ∆2,∆3, - определители третьего порядка, полученные из определителя системы ∆ заменой 1, 2 и 3-го столбца соответственно столбцом свободных членов.
∆1 = = - 42, ∆2 = = -42, ,∆3 = = 42.
Подставляя найденные значения определителей в формулы Крамера, получаем искомое решение системы: х1=∆1/∆=-1, х2= ∆2/∆=-1, х3= ∆3/∆= 1.
Сделаем проверку.
-1 - 5∙ (-1) + 2∙1 = 6 - верно,
3∙(-1) – (-1) – 1 = -3 - верно,
-2∙(-1) + 2∙(-1) + 3∙1 = 3 - верно.
Ответ: х1=-1, х2= -1, х3= 1.
2) Решим систему методом Гаусса.
x1 - 5х2 + 2х3 = 6
3x1 - х2 - х3= - 3
-2x1 + 2х2 + 3х3 = 3
Расширенная матрица системы имеет вид . Преобразуем расширенную матрицу системы следующим образом.
Шаг 1. 1-ю строку умножая на (- 3), 2 и прибавляя полученные строки соответственно ко второй, третьей строкам, исключим переменную x1 из второй и третьей строк .
Шаг 2. 2-ю строку умножая на 4 и прибавяя к 3-ей, исключим из нее переменную х2.
Таким образом , имеем:
Используя обратный ход метода Гаусса найдем
из 3-го уравнения : 3х3 = 3 х3 = 1
из 2 -го уравнения : 2х2 - х3 = -3 2х2 - 1 = -3 х2 = -1
из 1 -го уравнения : x1 - 5х2 + 2х3 = 6 x1 + 5 + 2 = 6 x1 = -1
Ответ: х1=-1, х2= -1, х3= 1.
3). Решим систему уравнений матричным методом. Здесь
A = ; Х= ; В= .
Так как определитель матрицы системы отличен от нуля: |A| = 42 , то матрица А имеет обратную. Для нахождения обратной матрицы А-1 вычислим алгебраические дополнения элементов матрицы А и составим матрицу из алгебраических дополнений
||Ai j|| = . Транспонируем матрицу из алгебраических дополнений ||Ai j ||T = . Разделив каждый элемент транспонированной матрицы на определитель, получим обратную матрицу А-1=1/42 .
Умножив слева обратную матрицу на матрицу столбец свободных членов, получим искомую матрицу столбец неизвестных: Х=А-1∙В или
Х= = 1/42 = 1/42 = .
Ответ: х1=-1, х2= -1, х3= 1.
Пример 2. Даны вершины А1(3; -2; 2), А2(1; -3; 1), А3(2; 0; 4),А4(6; -4: 6). Средствами векторной алгебры найти:
1) длину ребра А1 А2
2) угол между ребрами А1 А2 и А1 А3
3) площадь грани А1А2А3
4) объем пирамиды А1А2А3А4
Решение. 1) Находим вектор А1А2:
=(1 - 3)i + (-3 – (-2))j +(1 – 2)k= - 2i - 1j - k .
Длину вектора, т.е. длину ребра А1А2 найдем по формуле
2) Найдем координаты вектора =(2 – 3)i +(0 –(- 2))j +(4 -2)k= - i + 2j + 2k .
Скалярное произведение векторов и находим по формуле
∙ =(-2) ∙ (-1) + (-1) ∙ 2 + (-1) ∙ 2 = - 2, а косинус угла между ними – по формуле: .
Отсюда следует, что φ – тупой угол, φ=π – arccos0,27 = 1,85 рад с точностью до 0,01. Это и есть искомый угол между ребрами А1 А2 и А1 А3 .
3) Площадь грани А1А2А3 равна половине площади параллелограмма, построенного на векторах и , т.е. половине модуля векторного произведения этих векторов:
x = .
Здесь определитель вычисляется с помощью разложения по первой строке. Следовательно,
.
4) Объем V пирамиды равен 1/6 объема параллелепипеда, построенного на векторах
, и . Вектор =3 i - 2j + 4k . Используя формулу
.
Пример. Найти центры и привести к каноническому виду и построить кривые :
1) 2 x2 + 3 y2 - 4x + 6y - 7 = 0 ;
2) 2 x y = a2
Решение 1). B = 0, = -72 0 , = 6 > 0 - эллипс
Выполним приведение к полному квадрату: 2 (x - 1)2 + 3 (y + 1)2 - 12 = 0
Координаты центра симметрии ( 1; - 1), линейное преобразование X = x - 1, Y = y + 1 приводит уравнение к каноническому виду X2 /6 + Y2 /4 = 1 , где a = 2.48 ,b = 2
2). B = 1, = a2 0 , = - 1 < 0 - гипербола
Центр системы координат находится в центре симметрии кривой, т.к. в уравнении нет линейных членов. Совершим поворот осей на угол .. По формуле ( 45 ) имеем tg 2 = B/(A - C) = , т.е. = 450. Коэффициенты канонического уравнения ( 46 ) A+ , C+ определяются уравнением ( 48 ) : t2 = 1 или t1,2 = 1 A+ = 1, C+ = -1, т.е. X2 - Y2 = a2 или X2 / a2 - Y2 / a2 = 1
У равнение 2х у = а2 описывает гиперболу с центром в (0;0). Оси симметрии располагаются по биссектрисам координатных углов, асимптотами служат оси координат, полуоси гиперболы равны а.