Приклад.

Побудувати двоїсту задачу:

F(x) = x₁-10x₂+2x₃-x₄+7x₅ → max

2x₁-x₂ ≤ 1

x₁-x₂+2x₃-x₄+x₅ ≥ 4

x₂+x₃-x₄ = 0

x₁-x₃+2x₅ ≥ 3, x₁ ≥ 0, x₃ ≥ 0

2x₁-x₂ ≤ 1

-x₁+x₂-2x₃+x₄-x₅ ≤ 4

x₂+x₃-x₄ = 0

- x₁+x₃-2x₅ ≤ -3 , x₁ ≥ 0, x₃ ≥ 0

Двоїста до заданої задачі має вигляд:

F(y) = y₁-4y_2­-3y₄ → min

2y₁-y_2­-y₄ ≥ 1

-y₁+ y_2­+y₃ = -10

-2y₂+y_3­+y₄ ≥ 2

y_2­+y₃ = -1

-y_2­-2y₄ = 7

Економічна інтерпретація прямої та двоїстої задачі.

Нехай дана задача ІІ, яка має наступний економічний зміст.

Нехай всі а_ij ≥ 0 , c_j > 0, b_i >0. Задача виникла із наступної ситуації. Існує n технологічних способів виробництва певної продукції. При кожному технологічному способі затрачається m видів сировини, напівфабрикатів, праці, електроенергії і т. д. Нехай а_ij – питомі затрати і-го виду при j-му технологічному способі (при одиничній його інтенсивності).

Нехай b_i (і=1..m) – кількість і-го фактору, яким володіє дане підприємство.

Нехай c_j (j = 1..n) – кількість продукції, яка вироблена при j-тій технології, чи при одиничній інтенсивності за 1 місяць. Потрібно визначити інтенсивність (час) використання всіх технологій, щоб сумарний об’єм продукції був максимальний з урахуванням обмежень на ресурси.

Нехай x₁,x₂, ...,x_п – шукані інтенсивності. Тоді с₁х₁ – кількість продукції , виробленої за х_і місяць.

Тоді ІІ – математична модель цієї задачі. Цільова функція - сумарний об’єм продукції при вибраній інтенсивності. Обмежені сумарні витрати і-го ресурсу не повинні перевищувати запасу цього ресурсу.

х_і ≥ 0 економічний зміст змінної.

При нашому трактуванні технологія з кількісного боку достатньо визначається вектором m+1 мірним.

Вектор b визначає запаси ресурсів:

Перейдемо до двоїстої задачі. В ній m змінних (стільки, скільки видів ресурсів). Таким чином кожному виду ресурсів відповідає своя змінна. Їх можна розглядати як умовні ціни (оцінки).

Розглянемо j-те обмеження:

(a_1jy₁ + a_2jy₂+ …+a_mjy_m) ≥ c_j

Так як а_ij мають різні одиниці виміру , то у повинні бути або безрозмірними, або грошовими одиницями. Для порівняння лівої та правої частини будемо вважати , що при c_j коефіцієнт y_j можна розглядати як питомі оцінки (умовні ціни) всіх ресурсів, що використовуються. Тоді ліва частина обмежень буде виражати сумарну оцінку всіх затрат при j-тій технології за одиницю часу, а права частина – це оцінка (в тих же одиницях ) готової продукції , що отримується по j - тій технології за одиницю часу. Таким чином кожне обмеження співвідносить витрати з результатами. Знак ≥ тут означає, що при об’єктивному вимірі витрат і результатів, витрати не можуть бути менше результатів. Витрати можуть лише перебільшувати, а в ідеальних випадках співпадати з результатами.

Ц.Ф. задачі b₁y₁+ b₂y₂+…+b_my_m→min відображає сумарну оцінку всіх наявних ресурсів. Двоїста задача заключається в знаходженні таких значень оцінок всіх ресурсів, при яких виконуються всі обмеження, а Ц.Ф.→min, тобто пошуку найбільш економних варіантів.

Розглянемо економічні системи 1 і 2 теорем двоїстості.

Теорема 1 стверджує, що якщо вихідна задача має розв’язок, то і двоїста задача має розв’язок з економічної точки зору. Це означає, що такі оцінки існують.

Якщо Ц.Ф. необмежена, то задача недопустима, тобто задача складена невірно, тоді оцінок нема.

Згідно другої теореми , якщо при оптимальному розв’язку x₁⁰,x₂⁰, ...,x_п⁰ вихідної задачі яке-небудь обмеження вихідної задачі перетворюється в строгу нерівність (наприклад і) , то відповідне у_і рівне 0. з економічної точки зору це означає :

a_i1 x₁⁰+ a_i2 x₂⁰+ …+a_in x_n⁰ < b_i - це витрати і-го ресурсу при всіх технологіях.

Якщо затрати і-го ресурсу менші його кількості, тобто коли він недовикористовується , то оцінка цього ресурсу рівна 0. Загалом оцінка нелімітуючих факторів =0.Якщо j –те обмеження двоїстої задачі при оптимальному розв’язку y₁⁰, …, y_m⁰ перетворюється у строгу нерівність >, то за теоремою x_j = 0.

З економічної точки зору це означає, що якщо при j –тому технічному способі витрати перебільшують результат, тобто якщо j –тий спосіб не рентабельний , то і використовується цей спосіб з нульовою інтенсивністю. І навпаки , якщо j –та технологія в оптимальному плані використовується, якщо x_j⁰ > 0 , то відповідні обмеження приймають вигляд рівностей:

a_1jy₁⁰ + a_2jy₂⁰+ …+a_mjy_m⁰ = c_j, тобто затрати рівні результатам.

Таким чином ,при оптимальній організації використовуються рентабельні способи виробництва.

В зв’язку з такою роллю двоїстих оцінок у_1....у_m їх називають об’єктно обумовленими оцінками. Потрібно пам’ятати , що двоїсті оцінки можуть відігравати роль тільки внутрішньої економічної системи і не мають відношення до зовнішніх економічних систем. Крім цього вони відносні. При зміні умов задачі оцінки також змінюються.

Виникає питання наскільки і які умови задачі можна змінювати з тим щоб оцінки не змінилися. Це питання про стійкість розв’язку ЗЛП.