- •Лекція №1
- •Лекція №2
- •Лекція №3
- •Лекція № 4
- •Лекція №5
- •Лекція № 6
- •Лекція №7
- •Лекція 8
- •2 Алгоритм симплекс-методу.
- •Двоїстість лінійного програмування.
- •Приклад
- •Симетричні двоїсті задачі. З адача іі
- •Двоїстий симплекс - метод.
- •Перша теорема двоїстості.
- •Симетричні двоїсті задачі.
- •Алгоритм двоїстого симплекс-методу.
- •Приклад.
- •Економічна інтерпретація прямої та двоїстої задачі.
- •Економічна інтерпретація прямої та двоїстої задачі.
- •Транспортна задача лінійного програмування (в найпростішому варіанті – класична).
- •Властивості транспортної задачі.
- •Знаходження первинного опорного розв’язку т-задачі. Метод північно-західного кута.
- •Метод мінімального елементу в рядках.
- •Метод потенціалів в розв’язку транспортної задачі.
- •Алгоритм методу потенціалів.
- •Дискретне програмування. Математичні моделі задач дискретного програмування.
- •Задачі про призначення.
- •Задача про комівояжера.
- •Метод відокремлюючих площин.
Лекція №1
Література:
Таха Х.А. Введение в исследование операций. – М.:Мир, 1985. – 496 с.
Мину М. Математическое программитование и алгоритмы.– М.:Наука, 1990.– 448 с.
Вентцель Е. С. “Исследование операций”, М. 1972 г.
Зайченко Ю.П. Дослідження операцій.Підручник. – К. «Слово»,2006. – 816с.
Зайченко О.Ю., Зайченко Ю.П. Дослідження операцій. Збірник задач. – К.: «Слово»,2007. – 472 с.
Заславский В.С. “Исследование операций. Сборник задач”, М.1980. – 275с.
Юдин Д. Б., Гольштейн Е. Г. “Линейное программирование. Задачи и методы линейного программирования ” , М. 1994, 344с.
Дослідження операцій – це наука, яка займається розробкою та практичним застосуванням методів найбільш ефективного управління організаційними системами.
Предмет дослідження операцій – системи організаційного керування, які складаються з великої кількості взаємодіючих між собою підрозділів (інтереси підрозділів не завжди співпадають, можуть бути протилежними).
Ціль ДСО – кількісне обгрунтування приймаємих рішень стосовно керування організацією.
Основні етапи ДСО:
Постановка задачі.
Побудова математичної моделі.
Знаходження розв”язків.
Перевірка і корегування моделі.
Реалізація знайденого рішення на практиці.
(1). Задача ставиться замовником, а операційна група конкретизує її.
(2). Формалізація задачі.
Цільова функція задачі (показник якості, чи ефективності системи):
max E = f (x , y) (1.1)
при обмеженнях gi (x, y) bi , i = 1, m (1.2), де
х- вектор керованих змінних;
у – вектор некерованих змінних;
gi – функція споживання і-го ресурсу;
bi – величина і-го ресурсу.
(3). Для знаходження оптимального рішення задачі (1.1 , 1.2 ) в залежності від виду і структури цільової функції та обмежень використовують відповідні методи теорії оптимальних рішень:
лінійне програмування ( якщо f (x , y), gi (x, y) – лінійні функції відносно змінної х);
нелінійне програмування ( якщо f (x , y), gi (x, y) – не лінійні функції відносно змінної х);
динамічне програмування ( якщо цільова функція має визначену структуру (адитивна, чи мультиплікативна відносно х);
стахостичне програмування ( якщо вектор у – випадковий);
дискретне програмування ( якщо на змінну х накладена умова дискретності);
евристичне програмування ( якщо точний оптимум знайти алгоритмічним шляхом неможливо через велику кількість варіантів).
Класи задач ДСО ( за своєю постановкою):
Задача керування запасами.
Задача розподілення ресурсів.
Задача ремонту і заміни обладнання.
Задача масового обслуговування.
Задача теорії розкладів.
Задача вибору маршруту.
Задача планування і розміщення.
Приклади задач.
1. Транспортна задача.
Маємо m пунктів виробництва. Нехай виробництво однієї продукції з обсягами виробництва за даний період часу а1, а2, …, аm . Маємо n споживачів з потребами в1, в2, …, вn . Сумарний обсяг виробництва співпадає з потребами. Вартість перевезень одиниці продукції з і-го пункту виробництва в j–й пункт споживання сі j.
Завдання: скласти такий план перевезень від постачальників до споживачів, щоб всі потреби були задоволені, а сумарні витрати на перевезення – мінімальними.
Розв”язок:
Вводимо невідомі х іj ( обсяг перевезень з і-го пункту виробництва в j–й пункт споживання.
Визначаємо цільову функцію:
Визначаємо умови обмеження:
Тоді повинні виконуватись такі умови:
(3.1)
(j = 1, 2, …, n) (3.2)
(i = 1, 2, …, m) (3.3)
Xij ≥ 0; (3.4)
Умова (3.3) гарантує повне вивезення продукту з усіх пунктів виробництва, а умова (3.2) – повне задоволення попиту в усіх пунктах споживання.
Матрицю
Х = |
║xij║mn = |
x11 x12 ... x1n x21 x22 ... x2n .............. xm1 xm2 ... xmn |
|
|
|
називають планом перевезень Т-задачі, а змінні xij – перевезеннями.
2. Задача про дієту.
Для людини необхідно скласти харчовий раціон, який повинен включати :
білків не менше а1 гр.,
вуглеводів не менше а2 гр.,
мінеральних солей не менше а3 гр.,
вітамінів не менше а4 гр. за добу.
Нехай:
добова потреба в цих елементах – m;
маємо n видів харчових продуктів;
а іj – кількість елемента і в одиниці продукту j;
сj – ціна одиниці продукту j.
Завдання: підібрати кількість харчових продуктів, які б задовольнили потребу у всіх елементах при найменших витратах.
Розв”язок:
Вводимо невідомі х j (кількість j–го продукту).
Визначаємо цільову функцію:
Визначаємо умови обмеження:
а іj х j а 1
Задача про рюкзак.
Маємо рюкзак визначеного розміру. Нехай місткість рюкзака дорівнює d. Маємо n предметів з обсягами а1, а2, …, аn. Ступінь важливості кожного продукту – с j. Виконуються умови .
Завдання: вирішити які предмети покласти в рюкзак, щоб сумарна цінність була максимальна.
.
Висновки:
функція, яка максимізується (мінімізується) називається цільовою;
умови, яким підпорядковуються змінні, називаються обмеженнями задачі;
любий набір значень невідомих х1, х2 , …, хn , хі 0 , задовольняє всім обмеженням над допустимим розвязком задачі (сукупність всіх допустимих розвязків складає допустиму множину);
допустиме рішення , яке дає цільовій функції максимум (мінімум), називають оптимальним рішенням задачі, а саме значення цільової функції при цьому розвязкі – оптимумом.