Алгоритм двоїстого симплекс-методу.

Дана канонічна задача Л.П.

і відомо яке-небудь п.д.о.р.

х  = (x₁, ..,x_n) з базисом А_i1, А_i2,….,А_in все ∆j ≥ 0 на кожному етапі .

1. Розглянемо всі базисні координати п.д.о.р.

Якщо всі х_к0 ≥ 0, к=1...n, то процес закінчено. Дане п.д.о.р. є оптимальним.

2. Розкладаємо всі вектори А₁, А₂,….,А_m по базису, тобто знаходимо всі х_kj і по черзі передивляємося всі х_kj для кожного k, для якого х_k0 < 0.

Якщо є хоча б одне х_k0 < 0, таке, що х_kj ≥ 0, то процес закінчено. Дана задача недопустима.

Якщо таких х_k0 нема, то

3. Вибираємо одне із х_k0 < 0. нехай, наприклад, це х_r0 (зазвичай беруть більшу по модулю) і вираховують для неї оцінки для всіх j, для яких х_rj < 0. Вибираємо з них мінімум. Нехай , наприклад, це . Переходимо до нового п.д.о.р. замінюючи в базисі вектор А_ir вектором А_is. Перерахунок даних відбувається по звичайним основним формулам.

Вертаємося до пункту 1., маючи нове п.д.о.р.

Існують спеціальні прийоми пошуку п.д.о.р.

Приклад.

Розв’язати задачу двоїстим симплекс-методом.

4x₁+3x₂+10x₃+5x₄→min

3x₁+2x₂-3₃+5x₄ ≥ 8

-x₂-3x₃+6x₄ ≥ 4

2x₁+x₂-x₄ ≥ 0, x_j ≥ 0

Приводимо до канонічного вигляду:

3x₁+2x₂-x₃+5x₄ - х ₅ = 8

-x₂-3x₃+6x₄ - х ₆ = 4

2x₁+x₃-x₄ - х₇ = 0

х = (0,0,0,0-8,-4,0)

				-4	-3	-10	-5↓	0	0	0
Nп/п	Баз.	С баз.	b(А0)	A1	A2	A3	А4	А5	A6	A7
←1	A5	0	-8	-3	-2	1	-5	1	0	0
2	A6	0	-4	0	1	3	-6	0	1	0
3	A7	0	0	-2	0	-1	1	0	0	1
			0	4	3	10	5	0	0	0

Висновку про допустимість зробити не можна . переходимо до нового опорного розв’язку.

Робимо перерахунок:

				-4↓	-3	-10	-5	0	0	0
Nп/п	Баз.	С баз.	b(А0)	A1	A2	A3	А4	А5	A6	A7
1	A4	-5	8/5	3/5	3/5	-1/5	1	-1/5	0	0
2	A6	0	28/5	18/5	17/5	9/5	0	-6/5	1	0
←3	A7	0	-8/5	-7/5	-2/5	-4/5	0	1/5	0	1
			-8	1	1	11	0	1	0	0

Перерахунок розпочинається зі стовпчика b. якщо в ньому координати додатні, то це наш розв’язок. Дане п.д.о.р. є оптимальним:

Nп/п	Баз.	b
1	A4	32/35
2	A6	52/35
3	A1	8/7

Х_опт = (8/7, 0, 0, 32/55)