Лекція №7

Примітка:

1. Якщо в початковій задачі є один, чи декілько різних одиничних векторів при умові, що праві частини невідємні, то не доцільно вводити m штучних змінних, а требо вводити їх стільки, і в тих обмеженнях, щоби ця задача мала повний одиничний базис.

2. Якщо при розвязку М – задачи будьякий штучний вектор вийшов з базису , то недоцідьно цей вектор в подальшому знову вводити в базис. Через це відповідний стовпчик в таблиці можна опустити.

Модифікований симплекс-метод.

В симплекс-методі істотну роль на кожній іттерації грають оцінки

В результаті для оцінок  будемо мати

j = с_баз В^-1 А_j - c_j , де

В – базисна матриця, B = (A_i1, A_i2, …, A_im).

Будемо тепер j обчислюємо в такій послідовності:

 = с_баз В^-1.

Нехай  = (λ₁, λ₂, …, λ_m). Ці числа λі називаються симплекс – множниками для данного опорного розвязку.

Припустимо, що ми знайшли всі оцінки j. Припустимо, що В^-1 – відомо. Якщо, всі j 0, то процес скінчено і розвязок – оптимальний; якщо є j < , то беремо з них мінімальну, нехай це буде s. І лише для цієї оцінки знаходимо x_ks

Якщо всі x_ks  0, то процес закінчується. (ЦФ – не обмежена).

Якщо серед x_ks є додатнім, то за звичайним правилом ми знаходимо min і вектор, який виводять з базису.

Знайшли новий базис. Якщо для нього вважаємо відому матрицю В^-1, то повторюємо ці міркування.

Якщо задача невироджена, чи прийняті заходи проти зациклювання, то через декілька кроків ми розвяжемо задачу.

Таким чяином не потрібно обчислювати x_kj для всіх a_j, але для кожного опорного розвязку необхідно знати В^-1

Розрахунок оберненої матриці для достатньо великої матриці досить складно.

Можно обійтися без безпосереднього розвязку оберненої матриці на кожній операцій, а саме елементи зворотньої матриці для кожного опорного розвяку можно розрахувати за оберненою матрицію попереднього розвязку за основними формулами.

Лекція 8

Для того, щоб впевнитись в цьому покажемо, що стовпці зворотньої матриці для данного базиса – це стовпці координат векторів Е₁ , Е₂, … , Е_м у відповідному базисі

Нехай Аі1, Аі2, … , Аім – це черговий базис і утворена матриця для даного базису дорівнює

Знайти координати вектора Еj в нашому базисі:

Так як j – довільна, то це ми довели для будьякого вектора матерь божья e₁, e₂, … , e_m

Таким чином приходимо до слідуючої матриці симплекс-методу.

2 Алгоритм симплекс-методу.

1. Oбчислюємо матрицю зворотню до данної базисної матриці.

2. Oбчислюємо вектор  = с_баз В^-1.

3. Oбчислюємо оцінки j

j = Aj-Cj.

Для базисних векторів вони дорівнюють 0. Якщо всі j  0 , то опорний розвязок - оптимальний. Якщо є j < 0, то обираємо з них найменшу. Припустемо. Що s обрана.

4. Oбчислюємо x_ks за формулою

Якщо всі x_ks  0 і s < 0, то процес зупиняється (ЦФ – необмежена звеху), в іншому випадку переходимо до 5.

5. Oбчислюємо

6. За основними формулами обчислюємо новий опорний розвязок

і матрицю, обернену до нової базисної

Поветаємося до 2, маючи на увазі новий опорний розвязок.

Примітка: недоліком 2 алгоритму в порівнянні з 1 є те, що необмеженість ЦФ (вона може зявитися на більш пізній іттерації при 1 алгоритмі).

Д ля А₀ - аналогічно.

Починаємо перелік за правилом критий -накритий.

Отримуємо першу ітерацію.

Nп/п	Баз.	С баз.	А0	Е1	Е2	Е3	А3 		Q
1	A1	2	7/4	3/8	1/4	0	-1	7/8	2
2	A4	2	¼	1/8	-1/4	0	5	-11/8
3	A7	0	¾	-13/8	-3/4	1	3	7/8	0
			4/	1	0	0	-4

Друга ітерація.

Nп/п	Баз.	С баз.	А0	Е1	Е2	Е3	А5
1	A1	2	1	2	1	-1	2
2	A4	2	10/7	-17/7	-10/7	11/7	-17/7
3	A3	3	6/7	-13/7	6/7	8/7	-13/7
			52/7	-45/7	-24/7	32/7	-45/7

Третя ітерація.

Nп/п	Баз.	С баз.	А0	Е1	Е2	Е3
1	A5	0	1/2	1	1/2	-1/2
2	A4	2	37/14	0	-3/14	5/14
3	A3	3	25/14	0	1/14	3/14
			119/14	0	-3/14	19/14