Лекція №2

Приклад:

Дані розв’язки:

х¹= (4, 0, 8, 1, 0);

х²= (0, 1, 10, 0, 0);

х³= ( , , , ,).

Завдання: перевірити допустимість розвязків.

Відповідь: х¹ , х² - допустимі розвязки, х³ - недопустимий розв’язок.

Знайти значення цільової функції:

f (х¹) = 2 – оптимальний розв’язок;

f (х²) = -7– оптимальний розв’язок.

Задачі лінійного програмування (ЗЛП).

Форми ЗЛП.

1. ЗЛП з обмеженнями – рівностями (основна ЗЛП).

Канонічна форма ЗЛП.

Маємо: х₁, х₂ , …, х_n.

Необхідно знайти такі невідємні значення цих змінних, яких би задовольняли системи лінійних рівнянь (3)

і , крім цього, обертали б в мінімум лінійну функцію:

L = c₁x₁ + c₂x₂ + … c_nx_n  min.

2. Симетрична форма.

L = c₁x₁ + c₂x₂ + … + c_nx_n  min (4.1);

(4.2)

Будемо вважати, що всі ці нерівності лінійно – незалежні, тобто жодне з них неможливо представити в вигляді лінійної комбінації інших.

Перехід від однієї форми ЗЛП в іншу.

Від задачі з обмеженнями легко перейти до ОЗЛП. Будемо вважати, що ЗЛП задана в вигляді

(4.3).

Будемо називати змінні у₁, у₂, …, у_м додатковими змінними.

Припустимо, що ЗЛП задана в вигляді

Таким чином виникає ЗЛП.

Знайти всі відємні значення n+m змінних х₁, …, х_n, у₁, …, у_m , щоби вони задовольняли систему (4.3) і перетворювали в максимум, або в мінімум функцію (4.1). Отже, отримали ОЗЛП.

Можливий і зворотній перехід.

Нехай дана ЗЛП в канонічній формі, або стандартній. Введемо позначення

- матриця ЗЛП,

- вектор вільних членів,

с = (с₁, с₂, …, с_n) – вектор коефіцієнтів ЦФ,

- вектор невідомих.

Тоді задача прийме вигляд

(c, x)  max;

A₁x₁ + A₂x₂ + … + A_nx_n  b , де

А – вектори умов задачі при Х.

Геометричний зміст ЗЛП.

Розглянемо випадок, коли число змінних (n) на два більше ніж число незалежних рівняннь (m), тобто (n – m) = 2.

В такому випадку можна дві змінних , наприклад х₁ та х₂, обрати в якості вільних, а інші зробити базисними і виразити їх через вільні. Припустимо, що це зроблено. Отже, маємо ОЗЛП:

(5.1)

Дамо задачі лінійного програмування геометричну інтерпритацію:

По віссям ОХ₁ та ОХ₂ бкдемо відкладувати значення вільних змінних х₁ та х₂. Візьмемо перше рівняння:

х₃ = ₃₁х₁ + ₃₂х₂ +₃  0

і припустимо, що х₃ = 0. Тоді ₃₁х₁ + ₃₂х₂ +₃ = 0. Розвязуємо це рівняння і отримуємо рівняння кривої. Візьмемо цю криву х₃ і відмітимо рисками ту сторону, де х₃ > 0.

Наступні криві будуємо аналогічно наведеному принципу.

В результаті ми отримали (m – 2) прямих, кожна з яких визначає припустиму півплощину.

Частину площини Х₁ОХ₂ , яка належить одночасно всім цим півплощинам, утворює ОПР (область припустимих розвязків).

Не важко переконатися, що ОПР утворює завжди опуклий многокутник.

Визначення:

Множина точок n – вимірного євклідового простору називається опуклим, якщо разом з будь – якими двома точками цього простору воно містить також відрізок, з цими точками на кінцях.

Лекція №3

Задача.

Знайти з числа припустимих оптимальний розвязок, тобто таке яке перетворює в мінімум ЦФ

L = c₁x₁ + c₂x₂ + … + c_nx_n (5.2).

Підставимо вираз (5.1) в формулу (5.2) і виразимо L як ЦФ лише вільних змінних х₁ та х₂. Отримаємо

L = ₀ + ₁x₁ + ₂x₂ (5.3).

Як бачимо, рівняння (5.3) досягає мінімума при тих самих х₁ та х₂, що і функція

L = ₁x₁ + ₂x₂ (5.4).

Знайдемо ці значення. Нехай L = с, тоді отримаємо рівняння прямої на площині Х₁ОХ₂. Кутовий коефіцієнт цієї прямої дорівнює (₁ / ₂) , а відрізок, відрізаємий від віссі ОХ₂ буде дорівнювати.

Нехай маємо ОПР і пряму L = 0. При переміщенні L = 0 лінійна форма L* буде спадати. Отже, найменше значення вона досягне в точці А. Нехай х*₁ та х*₂ визначають оптимальний розвязок ЗЛП. Можна підставити їх в (5.1), знайти значення базисних змінних х*₃, х*₄, …, х*_n, а також значення функції

Lmin = ₀ + ₁x*₁ + ₂x*₂ .

Основні властивості ЗЛП.

1. Розвязок ОЗЛП, якщо воно існує, не може лежати внутри, а лише на її кордонах.

2. Розвязок ОЗЛП може бути не єдиним.

3. ОЗЛП може не мати навіть в випадку, коли ОПР не обмежена.

4. Розвязок ОЗЛП, мінімізуючий функцію L завжди досягається в одній з вершин многокутника припустимих розвязків. Розвязки,які лежать в одній з вершин ОПР, називається опорним, а сама вершина – опорною точкою.

5. Для того, щоб знайти оптимальний розвязок, достатньо перебрати всі вершини ОПР і обрати з них ту, де L досягає мінімума.

6. Необхідною і достатньою умовою існування розвязку ЗЛП є обмеженість ЦФ на припустимій множині.

Симплекс – метод розвязку ЗЛП.

Алгоритм симплекс – методу:

1. Нехай відома деяка вершина допустимої множини.

2. Первіряємо належність цієї вершини до оптимального розвязку. Якщо так, то задача розвязана, інакше – переходимо до пункта 3.

3. Знаходиться вершина за визначеним правилом, яка краще попередньої. Переходимо до п. 2.

Так як число вершин обмежено, то через кінцеве число кроків знаходимо оптимальне рішення.

Симплекс – метод завжди застосовується в ЗЛП канонічної форми.

Зробимо припущення:

1. Система обмежень сумісна.

2. Ранг системи дорівнює кількості рівняннь.

Запишемо задачу в векторній формі

(1)

В такому випадку задачу можна поставити так: знайти розташування вектора b за векторами А1, А2, …, Аn з невідємним коефіцієнтом, щоб ЦФ досягла максимуму.

Визначення: допустимий розвязок задачі (1) будемо називати опорниим, якщо вектори Аj, які відповідають додатнім його координатам, лінійно незалежні.

Нульовий опорний вектор будемо вважати опорним.

Базисом порного розвязку називається будь – який набір з m лінійно незалежних векторів Аj .

Висновок: якщо опрне рішення містить точно m додатніх координат, то воно має єдиничний базис. В іншому випадку може бути декілько базисів.

Визначення: опорний розвязок називається невиродженим, якщо він рішення містить точно m додатніх координат, інакше, розвязок – вироджений.

Теорема про звязок між вершинами і опорними розвязками: вектор тоді і лише тоді є опорним розвязком ЗЛП, коли точка (вектор) є вершиною її допустимого многокутника.

Основна лема симплекс – методу.

Нехай маємо m – вимірні вектори А1, А2, …, Аl, l  m. Ранг цієї системи дорівнює їх розмірності m і нехай вектор А_i1, А_i2, …, А_im складає базис системи векторів А₁, А₂, …, А_m.

Замінимо один з базисних векторів А_ік вектором А_s. Тоді нова система векторів буде знову базисом тоді і лише тоді, коли в розкладі

A_s = x_1sA_i1 + x_2sA_i2 + …+ x_ksA_ik + …+ x_msA_im, x_ks  0 (6.1).