Алгоритм методу потенціалів.

Нехай дана Т-задача і початковий опорний розв’язок.

1. Знаходимо початкові потенціали розв’язуючи попереднє рівняння вигляду:

V_j + U_i = C_ij , де ij– базисне.

2. Віднімаємо ∆ij для всіх необхідних пар ij за формулою:

∆ij = V_j - U_i - C_ij ( ij - небазисне), тут V_j i Uі - знайдені в пункті 1 значення потенціалів.

Якщо всі ∆ij ≤ 0, то процес закінчено. Розглянемо оптимальний розв’язок.

Якщо є ∆ij > 0 , то

3. Вибираємо найбільше a_j ∆ij > 0. Нехай це ∆isjs. Вводимо відповідний вектор в базис за маршрутом i_s j_s невизначене поки перевезення θ ≥ 0 .

4. Будуємо компенсуючий замкнутий ланцюжок , починаючи з клітини i_s j_s і йдучи з початку рядочка.

5. Знаходимо значення θ = min x_ij (для тих базисних клітин ij , де θ обчислюється).

6. Один з векторів, відповідний до клітини ланцюжка в якій перевезення перетворюється в 0, виводимо із базису.

Вертаємося в пункт 1, маючи новий базис і нове опорне рішення.

Примітка.

Алгоритм сформований без врахування можливості зациклення. У випадку зациклення застосовується спеціальне правило виводу вектора із базису.

Дискретне програмування. Математичні моделі задач дискретного програмування.

Більшість задач ІСО є такі, як розподіл ресурсів, сітьове планування і керування, календарного планування описуються математичними моделями дискретного програмування.

Розглянемо загальну задачу на максимум:

maxƒ (х₁, х₂, ..., х_n) (4.1)

g₁(х₁, х₂, ..., х_n ) ≤ 0

……………………. (4.2)

g_m(х₁, х₂, ..., х_n ) ≤ 0

x = (х₁, х₂, ..., х_n) є D (4.3)

D – деяка множина. Якщо множина D є кінцевим, або таким, що можна порахувати, то 4.3 – це умова дискретності , а дана задача є задачею ЛП.

Частіше за все умова дискретності розподіляється по окремим змінним.

x_j є D_j, j = 1, 2, …, n (4.4)

Якщо вводяться обмеження – цілі числа , то приходимо до задач цілочисельного програмування.

Окремий випадок дискретної задачі дискретного програмування є не випуклою і не зв’язаною, тому пошук оптимального розв’язку пов’язаний з труднощами. А саме неможливість застосування стандартних прийомів, вирішується заміною дискретної задачі її неперервним аналогом і округленням найденого розв’язку до найближчого цілого.

Розглянемо наступну задачу:

, де х_j – цілі числа

х_1опт = ½, х_2опт = 0, х_3опт =4 ½, це показує, що ніяке групування компонентів цього прикладу не дає допустимого розв’язку , який задовольнив би обмеження даної задачі.

Шкальний, цілочисельний розв’язок : х₁ = 2, х₂ = 2, х₃ = 5.

Таким чином, для задач ДП необхідні спеціальні методи. Вони поділяються на групи:

1. точні методи, які включають:

• методи обтікання чи відокремлюючих площин.

• метод гілок та границь.

• метод послідовного аналізу і варіацій.

• адитивний метод.

2. приблизні методи:

• методи локального оптимізування.

• модифікації точних методів.

• методи випадкового пошуку і евристичні методи.

По структурі математичних моделей ЗДП поділяють на наступні основні класи:

1. Задачі з ????????????.

2. Екстремальні комбінаторні задачі.

3. Задачі на незв’язність та не випуклість в областях з розривними цільовими функціями.

Дані на вимогу цілочисельної змінної {x_i} , що випливає із умов практичних задач. До цих задач відноситься задача визначення оптимальної структури виробничої програми. { х₁, х₂, ..., х_n}- об’єми випуску продукції.

Із найбільш поширених ЦП є задача про рюкзак. В таких задачах необхідно знайти екстремум функції.