Метод мінімального елементу в рядках.

Першою заповнюється клітина першого рядка з мінімальною вартістю перевезення. Якщо таких клітин декілька, то будемо , наприклад вибирати ту, що з ліва. Далі все аналогічно методу північно-західного кута.

Метод потенціалів в розв’язку транспортної задачі.

Цей метод є реалізацією модифікованого симплекс-методу, який застосовується до транспортної задачі.

При розв’язку модифікованої симплекс-методом ЗЛП при даному опорному розв’язку рахуємо:

Ω = С_б * В^-1

∆j = (A_j Ω) -C_j

Покажемо, що знаходження Ω рівносильно розв’язання наступної системи рівнянь.

(А_і1, Ω) = С_і1

(А_і2, Ω) = С_і2

_{…………………..}

(А_іm, Ω) = С_іm

де А_і1,...А_іm – базис опорного розв’язку; Ω = (Ω₁,…, Ω_m) – невідомий фактор.

Нехай В – матриці опорного базисного розв’язку, тоді В^ТΩ^Т = С_б^Т. Беремо обернену матрицю, отримуємо Ω^Т = (В^Т )^-1С_б^Т. Транспонуємо Ω = С_бВ^-1.

Загальна схема методу така:

В даному початковому опорному плані кожному пункту ставимо в відповідність деяке число оцінюючи його попереднім потенціалом. Попередні потенціали вибирають так, щоб їх різниця для будь-якої пари пунктів А_і і В_j зв’язаних основною комунікацією була С_ij.

Якщо виявиться, що різниця попередніх потенціалів для всіх інших комунікацій не перебільшує С_ij , то даний план перевезень – оптимальний розв’язок задачі. В інакшому випадку встановлюють спосіб поліпшення опорного плану Т-задачі.

Нехай дана Т-задача і яке-небудь її рішення з базисом А_i1j1, A_i2j2,…, A_ikjk (k=m+n-1) Нехай V_j і U_i –потенціали пунктів відправлення А_і і пунктів призначення B_j . Введемо вектор: W = (-U₁, -U₂, …, -U_m, V₁, V₂, …, V_n).

Конкретне значення W для даного опорного розв’язку ми знайдемо із системи :

((А_і1j, W) = С_і1j1

(А_і2j, W) = С_і2j2

_{………………………} (3.7)

(А_іkj, W) = С_іkjk

Так як

, то система 3.7 розпишеться наступним чином:

Якщо ми передамо значення 0 змінній А_iк чи якій-небудь іншій змінній , чи V, то система після цього легко вирішується, причому має єдиний розв’язок. Ми знаходимо всі U,V потім вектор W і розв’язок задачі.

ВекторW - називається вектором попередніх потенціалів даного опорного рішення. Нехай ми знайшли попередні потенціали, іншими словами вектор Ω. Для всіх небазисних векторів знайдемо оцінки ∆ij = V_j – U_i - C_ij

Оскільки Т-задача на мінімум , то всі оцінки ∆ij≤ 0, то даний опорний розв’язок- оптимальний. Якщо є ∆ij > 0, то можна отримати кращий опорний розв’язок, якщо ввести в базис вектор A_ij є ∆ij > 0. Знаходження вектора, що виводиться в Т-задачі дуже просто і ось чому нехай ми вирішили вводити в базис вектор A_isjs- тобто (is,js) тепер базисний маршрут.

	Xirjr		θ
	Xixjx+ θ		Xij- θ

Припустимо , що по цьому маршруту перевозиться θ одиниць продукції. Обов’язково повинен знайтися замкнутий на клітині is,js ( компенсуючий ) ланцюжок. Коли він побудований визначається конкретне значення θ із умови, що в клітинах ланцюжка нові перевезення повинні бути не від’ємними і повинні випадати (перетворюватися в 0) хоча б одне перевезення. Таким чином θ =minx_ij де розглядаються тільки ті клітини ланцюжка , в яких θ віднімається.

Коли θ знайдено , одна із клітин ланцюжка, де перевезення перетворюється в 0 виводиться із базису. Можна довести, що розв’язок буде опорним.