Координата точки. Построение точки по ее координатам

Рассмотрим произвольную точку М прямой. Поставим ей в соответствие вектор и число х таким образом:

1) |х| – длина отрезка ОМ, тогда ОМ=| |=|х|;

2) х>0, если  , т.е. точки М, Е₁ принадлежат одному лучу [ОЕ₁);

х<0, если  , т.е. точки М и Е₁ принадлежат различным лучам прямой х относительно точки О;

х=0, если = , т.е. точка М совпадает с точкой О.

Определение 1

Вектор называется радиус-вектором точки М

(1)

Определение 2

Число х в равенстве (1) называют координатой точки М в заданной системе координат и записывают М (х).

Всякому числу х можно поставить в соответствие единственную точку М прямой х, и наоборот, всякая точка М определяется единственным действительным числом х.

Пример 1. Построить точку М (–2).

Р

Рис.1.2.

ешение. . Для построения достаточно указать радиус-вектор точки (рис.1.2.).

Задача 1. Координата вектора

Дано: точки А(х₁), В(х₂).

Найти: координату х вектора , т.е. .

Решение. .

Рис.1.3.

.

Тогда ,

откуда . (2)

Координата вектора вычисляется как разность координат конца и начала вектора соответственно.

Задача 2. Вычисление длины отрезка

Дано: точки М₁(х₁), М₂(х₂) (рис.1.4).

Найти: длину отрезка М₁М₂.

Решение. .

Рис.1.4.

.

Длина отрезка М₁М₂ при любом расположении точек М₁ и М₂ может быть определена по формуле:

(3)

Задача 3. Деление отрезка в данном отношении

Определение 3.

Точка М делит направленный отрезок в отношении , если

(4)

Дано: точки М₁(х₁), М₂(х₂), ММ₁М₂,  / R,

Найти: М /

Решение.

Рис.1.5.

Рассмотрим радиус-векторы точек (рис.1.5): .

Выразим радиус-вектор точки М: .

Если , т.е. , то (5)

По свойству координат вектора: .

Откуда

. (6)

Разделить отрезок М₁М₂, где М₁(х₁) – первая точка, М₂(х₂) – вторая точка, в данном отношении  ( ) – значит, на прямой М₁М₂ найти такую точку М(х), для которой выполняется соотношение: .

Задача имеет решение при всех . Точка М принадлежит отрезку М₁М₂, если >0, и лежит вне отрезка М₁М₂, если <0. В первом случае будем говорить, что точка М делит отрезок М₁М₂ внутренним образом, во втором – внешним образом.

Если выразить  по известным координатам точек М₁, М₂, М, то

. (7)

Задача 4. Вычисление координаты середины отрезка

Рассмотрим формулу (4). Так как М – середина отрезка, то , т.е. . Подставив в (6) получим:

. (8)

Координата середины равна полусумме координат его концов.

3. Системы координат в плоскости. Аффинная система координат

Пусть дано векторное пространство V₃. Рассмотрим в нем двумерное векторное подпространство V². В нем любые два неколлинеарных вектора могут образовать базис. Выберем на плоскости точку О и произвольный базис .

Определение 4.

Тройка О, , называется аффинной системой координат в плоскости (косоугольной) или аффинным репером.

Обозначается . Точка О – начало координат (рис.1.6), векторы , – базисные, прямые, проходящие через точку О параллельно базисным векторам – координатные оси: ось абсцисс х и ось ординат у, параллельные и соответственно.

Рис.1.6.

Рис.1.7.