Тема 10. Системы координат в плоскости. Простейшие аффинные и метрические задачи

Вопросы.

1. Введение в аналитическую геометрию

2. Система координат на прямой. Задачи

3. Аффинная (косоугольная). Радиус-вектор точки. Аффинные координаты точки. Построение точки по координатам.

4. Аффинные задачи. Координаты вектора. Деление отрезка в данном отношении. Координаты середины отрезка. Условие принадлежности трех точек одной прямой. Центр тяжести треугольника и многоугольника.

5. Прямоугольная декартова система координат в плоскости. Прямоугольные координаты точки. Построение точки по координатам.

6. Метрические задачи. Расстояние между двумя точками. Площадь треугольника, заданного координатами вершин.

1. Введение в аналитическую геометрию

Аналитическая геометрия – раздел геометрии, который исследует простейшие геометрические объекты средствами элементарной алгебры на основе метода координат. Точки, плоские или пространственные линии и фигуры составляют основные понятия геометрии.

Создание аналитической геометрии приписывают французским ученым – П. Ферма (1629) и Р. Декарту (1637). Термин «аналитическая» употреблялся для всяких приложений алгебры к геометрии и появился благодаря Ф. Виету, который не признавал слова «алгебра» и заменял его словом «анализ». Долгое время было принято название «Декартова геометрия», предложенное И. Бернулли (1692).

Основным для нее является метод координат, позволяющий определять положение точки на линии, поверхности, пространстве с помощью чисел или других символов, называемых её координатами и задаваемых в системе координат, выбранной в зависимости от задач исследования. Этот метод допускает обобщение на пространства более высоких размерностей.

В системе координат положение точки описывается числами: одним числом (x) на прямой, парой чисел (x; y) в плоскости, тройкой чисел (x; y; z) в пространстве и т.д. Геометрическая фигура (в частности линия), рассматривается как множество точек, удовлетворяющих геометрическому условию, записанному в виде уравнения, неравенства, системы уравнений и/или неравенств, связывающих координаты каждой точки линии.

Таким образом, основная задача аналитической геометрии – изучение свойств геометрических фигур с помощью соотношений между координатами точек, из которых эти фигуры образованы.

Классификация систем координат

Декартовы			Не декартовы
на прямой			-
в плоскости
Аффинная (косоугольная)	Прямоугольная декартова		Полярная
в пространстве
Аффинная	Прямоугольная декартова		Цилиндрическая	Сферическая
	правая	левая

2. Система координат на прямой Способы задания

1) направленная прямая – ось, начало отсчета – точка О и Е₁ – единичная точка (рис.1.1), говорят задана система координат (репер – инженер.) и обозначают ;

2) в одномерном векторном пространстве V₁: направленная прямая – ось, начало отсчета на ней – точка О и единичный базисный вектор . В этом случае .

Рис.1.1

В дальнейшем ось будем обозначать х, Ох, или ОХ, а координату точки буквой х, например, М (х).

Точка О делит ось на два луча: луч с положительным направлением одинаково направлен с вектором и содержит точку Е₁; луч с отрицательным направлением противоположно направлен вектору и не содержит точку Е₁.