- •Основные понятия теории вероятностей. События
- •Классификация событий.
- •Операции над событиями.
- •Классическое определение вероятности случайного события
- •Статистическое определение вероятности
- •Геометрическая вероятность
- •Аксиомы теории вероятностей.
- •Зависимые и независимые случайные события. Основные формулы сложения и умножения вероятностей
- •Теоремы сложения вероятностей
- •Зависимые и независимые события. Условная вероятность.
- •Формулы умножения вероятностей
- •Формула полной вероятности
- •Одномерные случайные величины
- •Понятие случайной величины
- •Законы распределения случайной величины
- •Функция распределения вероятностей и ее свойства
- •Плотность распределения вероятности и ее свойства
- •Числовые характеристики случайных величин
- •Свойства математического ожидания
- •Свойства дисперсии случайных величин
- •Числовые характеристики среднего арифметического n независимых случайных величин
- •Надёжность: основные понятия и определения
- •Основные понятия
- •Показатели надёжности
- •Показатели надежности – количественные и комплексные.
- •Основные показатели безотказности объектов Вероятность безотказной работы
- •Средняя наработка до отказа
- •Интенсивность отказов
- •Средняя наработка на отказ
- •Параметр потока отказов
- •Основные показатели долговечности Средний срок службы (математическое ожидание срока службы)
- •Средний ресурс (математическое ожидание ресурса)
- •Основные показатели ремонтопригодности
- •Среднее время восстановления
- •Интенсивность восстановления
- •Комплексные показатели надежности Коэффициент готовности
- •Коэффициент оперативной готовности
- •Коэффициент технического использования
- •Основные математические модели, наиболее часто используемые в расчётах надёжности. Распределение Вейбулла
- •Экспоненциальное распределение
- •Распределение Рэлея
- •Нормальное распределение (распределение Гаусса)
- •Примеры использования законов распределения в расчетах надежности
- •Определение показателей надежности при экспоненциальном законе распределения
- •Определение показателей надежности при распределении Рэлея
- •Определение показателей схемы при распределении Гаусса
- •Определение показателей надежности неремонтируемого объекта по опытным данным
- •Надёжность невосстанавливаемой системы при основном соединении элементов Определение вероятности безотказной работы и средней наработки до отказа
- •Пример расчета надежности системы, собранной по основной схеме
- •Порядок решения задач надёжности. Исходные положения
- •Методы расчета надежности
- •Надёжность невосстанавливаемых резервированных систем
- •Общее резервирование с постоянно включенным резервом и с целой кратностью
- •Надежность системы с нагруженным дублированием
- •Общее резервирование замещением
- •Надежность системы при раздельном резервировании и с целой кратностью по всем элементам
- •Смешанное резервирование неремонтируемых систем
- •Надёжность восстанавливаемых систем
- •Надежность восстанавливаемой одноэлементной системы
- •Надежность нерезервированной системы с последовательно включенными восстанавливаемыми элементами
- •Надежность восстанавливаемой дублированной системы
- •Надежность восстанавливаемой системы при различных способах резервирования элементов
Определение показателей надежности при распределении Рэлея
Пример. Параметр распределения Требуется определить для величины , , , .
Решение.
Воспользовавшись формулами (3.11), (3.12), (3.13), получим:
Определение показателей схемы при распределении Гаусса
Пример. Электрическая схема собрана из трех последовательно включенных типовых резисторов: ; ; ; (в процентах задано значение отклонения сопротивлений от номинального). Требуется определить суммарное сопротивление схемы с учетом отклонений параметров резисторов.
Решение.
Известно, что при массовом производстве однотипных элементов плотность распределения их параметров подчиняется нормальному закону.
Перепишем значения сопротивления резисторов:
Ом;
Ом;
Ом;
Когда значения параметров элементов имеют нормальное распределение, и элементы при создании схемы выбираются случайным образом, результирующее значение является функциональной переменной, распределенной так же по нормальному закону, причем дисперсия результирующего значения, в нашем случае , определяется по выражению:
Данный пример показывает, что при увеличении количества последовательно соединенных элементов результирующая погрешность уменьшается. В частности, если суммарная погрешность всех отдельных элементов равна , то суммарная результирующая погрешность равна . В более сложных схемах, например в колебательных контурах, состоящих из индуктивностей и емкостей, отклонение индуктивности или емкости от заданных параметров сопряжено с изменением резонансной частоты, и возможный диапазон ее изменения можно предусмотреть методом, аналогичным с расчетом резисторов.
Определение показателей надежности неремонтируемого объекта по опытным данным
Пример. На испытании находилось образцов однотипной невосстанавливаемой аппаратуры, отказы фиксировались через каждые 100 часов. Требуется определить , , в интервале времени от 0 до 1500 часов. Число отказов на соответствующем интервале представлено в табл. 3.1.
Таблица 3.1 Исходные данные
N -го интервала |
|
|
1 |
0 -100 |
50 |
2 |
100 -200 |
40 |
3 |
200 -300 |
32 |
4 |
300 - 400 |
25 |
5 |
400 - 500 |
20 |
6 |
500 - 600 |
17 |
7 |
600 -700 |
16 |
8 |
700 - 800 |
16 |
9 |
800 - 900 |
15 |
10 |
900 -1000 |
14 |
11 |
1000 -1100 |
15 |
12 |
1100 -1200 |
14 |
13 |
1200 -1300 |
14 |
14 |
1300 -1400 |
13 |
15 |
1400 -1500 |
14 |
Решение.
Вероятность безотказной работы по статистическим данным можно вычислить по формуле:
где - число однотипных объектов, поставленных на испытания; во время испытаний отказавший объект не восстанавливается и не заменяется исправным; - число отказавших объектов за время .
Интенсивность отказов по статистическим данным будем вычислять по формуле:
– число отказов однотипных объектов на интервале , для которого определяется .
– число отказов к моменту времени .
– среднее число работоспособных объектов на интервале .
– число работоспособных объектов в момент времени .
Обозначим:
– время начала испытаний на i-ом интервале.
– время конца испытаний на i-ом интервале.
– число объектов, вышедших из строя к моменту времени .
– число объектов, вышедших из строя к моменту времени .
– среднее число работоспособных объектов на i-ом интервале.
– интенсивность потока отказов на i-ом интервале.
– вероятность безотказной работы в момент времени
Подставляем значения из таблицы 3.1 в формулы, получаем таблицу 3.2 - таблицу результатов:
Таблица 3.2
Таблица результатов
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
100 |
0 |
50 |
975 |
1000 |
0.0005 |
0.95 |
100 |
200 |
50 |
90 |
930 |
950 |
0.0004 |
0.91 |
200 |
300 |
90 |
122 |
894 |
910 |
0.0004 |
0.878 |
300 |
400 |
122 |
147 |
865.5 |
878 |
0.0003 |
0.853 |
400 |
500 |
147 |
167 |
843 |
853 |
0.0002 |
0.833 |
500 |
600 |
167 |
184 |
824.5 |
833 |
0.0002 |
0.816 |
600 |
700 |
184 |
200 |
808 |
816 |
0.0002 |
0.8 |
700 |
800 |
200 |
216 |
792 |
800 |
0.0002 |
0.784 |
800 |
900 |
216 |
231 |
776.5 |
784 |
0.0002 |
0.769 |
900 |
1000 |
231 |
245 |
762 |
769 |
0.0002 |
0.755 |
1000 |
1100 |
245 |
260 |
747.5 |
755 |
0.0002 |
0.74 |
1100 |
1200 |
260 |
274 |
733 |
740 |
0.0002 |
0.726 |
1200 |
1300 |
274 |
288 |
719 |
726 |
0.0002 |
0.712 |
1300 |
1400 |
288 |
301 |
705.5 |
712 |
0.0002 |
0.699 |
1400 |
1500 |
301 |
315 |
692 |
699 |
0.0002 |
0.685 |
Средняя наработка до отказа, при условии отказов всех объектов, определяется по выражению:
– время отказа i-ого объекта (принимает значения от 0 до ).
В данном эксперименте из объектам отказало всего 315 объектов (см. таблицу результатов). Поэтому, по полученным опытным данным можно найти только приближенное значение средней наработки до отказа. В соответствии с поставленной задачей воспользуемся формулой:
|
(3.16) |
При
где – наработка до отказа j-го объекта ( j принимает значения от 1 до );
– количество зафиксированных отказов (в нашем случае );
– наработка до -го (последнего) отказа.
Полагаем, что последний отказ зафиксирован в момент окончания эксперимента ( ).
Посчитаем на основе экспериментальных данных суммарную наработку объектов до отказа:
В результате
По полученным данным (см. табл. 3.2) построим график .
Из графика видно, что после периода приработки интенсивность отказов приобретает постоянную величину. Если предположить, что и в дальнейшем будет постоянной, то период нормальной эксплуатации связан с экспоненциальной моделью наработки до отказа испытанного типа объектов. Тогда средняя наработка до отказа
Таким образом, из двух оценок средней наработки до отказа и надо выбрать ту, которая более соответствует фактическому распределению отказов. В данном случае можно предполагать, что если бы провести испытания до отказа всех объектов, то есть , достроить график рис. 3.6 и выявить время, когда начнет увеличиваться, то для интервала нормальной эксплуатации ( ) следует брать среднюю наработку до отказа
В заключение по данному примеру отметим, что определение средней наработки до отказа по формуле , когда , дает грубую ошибку. В нашем примере
Если вместо поставим количество отказавших объектов , то получим
В последнем случае не отказавшие за время испытания объекты в количестве вообще в оценку не попали, то есть была определена средняя наработка до отказа только 315 объектов. Эти ошибки достаточно распространены в практических расчетах.