Определение показателей надежности при распределении Рэлея

Пример. Параметр распределения Требуется определить для величины , , , .

Решение.

Воспользовавшись формулами (3.11), (3.12), (3.13), получим:

Определение показателей схемы при распределении Гаусса

Пример. Электрическая схема собрана из трех последовательно включенных типовых резисторов: ; ; ; (в процентах задано значение отклонения сопротивлений от номинального). Требуется определить суммарное сопротивление схемы с учетом отклонений параметров резисторов.

Решение.

Известно, что при массовом производстве однотипных элементов плотность распределения их параметров подчиняется нормальному закону.

Перепишем значения сопротивления резисторов:

Ом;

Ом;

Ом;

Когда значения параметров элементов имеют нормальное распределение, и элементы при создании схемы выбираются случайным образом, результирующее значение является функциональной переменной, распределенной так же по нормальному закону, причем дисперсия результирующего значения, в нашем случае , определяется по выражению:

Данный пример показывает, что при увеличении количества последовательно соединенных элементов результирующая погрешность уменьшается. В частности, если суммарная погрешность всех отдельных элементов равна , то суммарная результирующая погрешность равна . В более сложных схемах, например в колебательных контурах, состоящих из индуктивностей и емкостей, отклонение индуктивности или емкости от заданных параметров сопряжено с изменением резонансной частоты, и возможный диапазон ее изменения можно предусмотреть методом, аналогичным с расчетом резисторов.

Определение показателей надежности неремонтируемого объекта по опытным данным

Пример. На испытании находилось образцов однотипной невосстанавливаемой аппаратуры, отказы фиксировались через каждые 100 часов. Требуется определить , , в интервале времени от 0 до 1500 часов. Число отказов на соответствующем интервале  представлено в табл. 3.1.

Таблица 3.1 Исходные данные

N -го  интервала
1	0 -100	50
2	100 -200	40
3	200 -300	32
4	300 - 400	25
5	400 - 500	20
6	500 - 600	17
7	600 -700	16
8	700 - 800	16
9	800 - 900	15
10	900 -1000	14
11	1000 -1100	15
12	1100 -1200	14
13	1200 -1300	14
14	1300 -1400	13
15	1400 -1500	14

Решение.

Вероятность безотказной работы по статистическим данным можно вычислить по формуле:

где - число однотипных объектов, поставленных на испытания; во время испытаний отказавший объект не восстанавливается и не заменяется исправным; - число отказавших объектов за время .

Интенсивность отказов по статистическим данным будем вычислять по формуле:

– число отказов однотипных объектов на интервале , для которого определяется .

– число отказов к моменту времени .

– среднее число работоспособных объектов на интервале .

– число работоспособных объектов в момент времени .

Обозначим:

– время начала испытаний на i-ом интервале.

– время конца испытаний на i-ом интервале.

– число объектов, вышедших из строя к моменту времени .

– число объектов, вышедших из строя к моменту времени .

– среднее число работоспособных объектов на i-ом интервале.

– интенсивность потока отказов на i-ом интервале.

– вероятность безотказной работы в момент времени

Подставляем значения из таблицы 3.1 в формулы, получаем таблицу 3.2 - таблицу результатов:

Таблица 3.2

Таблица результатов

0	100	0	50	975	1000	0.0005	0.95
100	200	50	90	930	950	0.0004	0.91
200	300	90	122	894	910	0.0004	0.878
300	400	122	147	865.5	878	0.0003	0.853
400	500	147	167	843	853	0.0002	0.833
500	600	167	184	824.5	833	0.0002	0.816
600	700	184	200	808	816	0.0002	0.8
700	800	200	216	792	800	0.0002	0.784
800	900	216	231	776.5	784	0.0002	0.769
900	1000	231	245	762	769	0.0002	0.755
1000	1100	245	260	747.5	755	0.0002	0.74
1100	1200	260	274	733	740	0.0002	0.726
1200	1300	274	288	719	726	0.0002	0.712
1300	1400	288	301	705.5	712	0.0002	0.699
1400	1500	301	315	692	699	0.0002	0.685

Средняя наработка до отказа, при условии отказов всех объектов, определяется по выражению:

– время отказа i-ого объекта (принимает значения от 0 до ).

В данном эксперименте из объектам отказало всего 315 объектов (см. таблицу результатов). Поэтому, по полученным опытным данным можно найти только приближенное значение средней наработки до отказа. В соответствии с поставленной задачей воспользуемся формулой:

(3.16)

При

где – наработка до отказа j-го объекта ( j принимает значения от 1 до );

– количество зафиксированных отказов (в нашем случае );

– наработка до -го (последнего) отказа.

Полагаем, что последний отказ зафиксирован в момент окончания эксперимента ( ).

Посчитаем на основе экспериментальных данных суммарную наработку объектов до отказа:

В результате

По полученным данным (см. табл. 3.2) построим график .

Из графика видно, что после периода приработки интенсивность отказов приобретает постоянную величину. Если предположить, что и в дальнейшем будет постоянной, то период нормальной эксплуатации связан с экспоненциальной моделью наработки до отказа испытанного типа объектов. Тогда средняя наработка до отказа

Таким образом, из двух оценок средней наработки до отказа и надо выбрать ту, которая более соответствует фактическому распределению отказов. В данном случае можно предполагать, что если бы провести испытания до отказа всех объектов, то есть , достроить график рис. 3.6 и выявить время, когда начнет увеличиваться, то для интервала нормальной эксплуатации ( ) следует брать среднюю наработку до отказа

В заключение по данному примеру отметим, что определение средней наработки до отказа по формуле , когда , дает грубую ошибку. В нашем примере

Если вместо поставим количество отказавших объектов , то получим

В последнем случае не отказавшие за время испытания объекты в количестве вообще в оценку не попали, то есть была определена средняя наработка до отказа только 315 объектов. Эти ошибки достаточно распространены в практических расчетах.