Распределение Рэлея

Плотность вероятности в законе Рэлея (см. рис. 3.4) имеет следующий вид

(3.11)

где – параметр распределения Рэлея (равен моде этого распределения). Его не нужно путать со среднеквадратическим отклонением, равным

Интенсивность отказов равна:

Характерным признаком распределения Рэлея является прямая линия графика , начинающаяся с начала координат.

Вычислим вероятность безотказной работы объекта в этом случае:

(3.12)

Средняя наработка до отказа

(3.13)

Нормальное распределение (распределение Гаусса)

Нормальный закон распределения характеризуется плотностью вероятности вида

(3.14)

– математическое ожидание случайной величины .

- среднеквадратическое отклонение случайной величины .

При анализе надежности электроустановок в виде случайной величины, кроме времени, часто выступают значения тока, электрического напряжения и других аргументов. Нормальный закон - это двухпараметрический закон, для записи которого нужно знать и .

Вероятность безотказной работы определяется по формуле

(3.15)

Интенсивность отказов можно вычислить по формуле

На рис. 3.5 изображены кривые , и для случая , характерного для элементов, используемых в системах автоматического управления.

В данном пособии показаны только наиболее распространенные законы распределения случайной величины. Известен целый ряд законов, так же используемых в расчетах надежности: гамма-распределение,  -распределение, распределение Максвелла, Эрланга и др.

Следует отметить, что если неравенство не соблюдается, то следует использовать усеченное нормальное распределение.

Для обоснованного выбора типа практического распределения наработки до отказа необходимо большое количество отказов с объяснением физических процессов, происходящих в объектах перед отказом.

В высоконадежных элементах электроустановок, во время эксплуатации или испытаний на надежность, отказывает лишь незначительная часть первоначально имеющихся объектов. Поэтому значение числовых характеристик, найденное в результате обработки опытных данных, сильно зависит от типа предполагаемого распределения наработки до отказа. При различных законах наработки до отказа, значения средней наработки до отказа, вычисленные по одним и тем же исходным данным, могут отличаться в сотни раз. Поэтому вопросу выбора теоретической модели распределения наработки до отказа необходимо уделять особое внимание с соответствующим доказательством приближения теоретического и экспериментального распределений.

Примеры использования законов распределения в расчетах надежности

Определим показатели надежности для наиболее часто используемых законов распределения времени возникновения отказов.

Определение показателей надежности при экспоненциальном законе распределения

Пример. Пусть объект имеет экспоненциальное распределение времени возникновения отказов с интенсивностью отказов Требуется вычислить основные показатели надежности невосстанавливаемого объекта за и вероятность безотазной работы на интервале от до

Решение.

1. Вероятность безотказной работы за время равна:

2. Вероятность отказа за равна

3. Используя выражение (2.5), вероятность безотказной работы в интервале времени от до при условии, что объект проработал безотказно равна:

4. Средняя наработка до отказа