Бинарные отношения
Теория:
Отношения – один из способов задания взаимосвязей между элементами множества.
Унарные
(одноместные) отношения
отражают наличие какого-то определенного
признака R
(свойства и т.п.) у элементов множества
M
(например, быть «белым» на множестве
шаров в урне). Тогда все такие элементы
a
из множества M,
которые отличаются данным признаком
R,
образуют некоторое подмножество в M,
называемое унарным
отношением
R,
т.е.
.
Бинарные
(двухместные) отношения
используются для определения каких-то
взаимосвязей, которыми характеризуются
пары элементов в множестве M
(так на множестве людей могут быть
заданы, например, следующие бинарные
отношения: «жить в одном городе», «быть
моложе», «работать в одной фирме», и
т.п.). Тогда все пары (a,b)
элементов, между которыми имеет место
данное отношение R,
образуют подмножество пар из множества
всех возможных пар элементов
,
называемое бинарным
отношением
R,
т.е.
,
при этом
.
Бинарным (двуместным)
отношением R
называется подмножество пар
прямого произведения
,
т.е.
.
При этом множество
называется областью
определения
отношения R,
множество
– областью
значений.
Если a,b находятся в отношении R, это записывается как aRb.
Бинарные отношения. Отношения определенные на конечных множествах, задаются:
1. Списком
(перечислением) пар,
для которых это отношение выполняется.
Например,
.
2. Матрицей
– где бинарному отношению
,
где
,
соответствует квадратная матрица
порядка n,
в которой элемент
,
стоящий на пересечении i-той
строки и j-того
столбца, равен 1, если между
и
имеет место отношение R,
или 0, если оно отсутствует:
Задача 8. Пусть M={1,2,3,4,5,6}. Задать в явном виде (списком) и матрицей отношение , если R означает – «< - быть строго меньше».
Решение:
Отношение R как множество содержит все пары элементов a,b из M такие, для которых a<b:
.
Тогда список будет иметь вид:
R={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)}.
Матрица отношений будет выглядеть следующим образом:
-
R
1
2
3
4
5
6
1
0
1
1
1
1
1
2
0
0
1
1
1
1
3
0
0
0
1
1
1
4
0
0
0
0
1
1
5
0
0
0
0
0
1
6
0
0
0
0
0
0
Задача 9.
Пусть M={1,2,3,4,5,6}.
Составить матрицы отношения для
,
если:
а)
– «быть делителем»;
б)
– «иметь общий делитель, отличный от
единицы»;
в)
– «иметь один и тот же остаток от деления
на 3».
Решение:
а) отношение R1 б) отношение R2 в) отношение R3
R1 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
R2 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
R3 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
2 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
2 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
2 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
3 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
3 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
|
3 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
4 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
4 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
4 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
5 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
5 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
5 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
6 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
|
6 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
|
6 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |