ПЗ-5 Графы и сети

Тема 4. Графы и сети

4.1. Способы задания графов

Теория.

1. Графическим изображением.

2. Множеством вершин и дуг: совокупностью двух множеств — непустого множества V (множества вершин) и множества Е неупорядоченных пар различных элементов множества V (Е — множество ребер)

3. Матрицей инцидентности размера : по вертикали и горизонтали указываются вершины и ребра соответственно, а на пересечении i-й вершины и j-го ребра в случае неориентированного графа записывается 1, если они инцидентны, и 0 – в противном случае, т.е.

В случае орграфа на пересечении i-й вершины и j-го ребра записывается минус единица (-1), если вершина является началом ребра и единица (+1) если вершина является концом ребра; 0 – записывается, если вершина и ребро не инцидентны. Если некоторая вершина является для ребра и началом, и концом (т.е. ребро – петля), проставляется любое другое число, например 2, т.е.

где любое число, отличное от -1, 1. 0.

4. Списком ребер графа, представленным двумя столбцами: в левом перечисляются все ребра , а в правом – инцидентные ему вершины v_ij. Для н-графа порядок вершин в строке произволен, для орграфа первым стоит номер начала ребра;

5. Матрицей смежности – квадратной матрицей размера , где по вертикали и горизонтали перечисляются все вершины , а на пересечении k-й и l-й вершин в случае н-графа проставляется число, равное числу ребер, соединяющих эти вершины. Для орграфа равно числу ребер с началом в k-й вершине и концом в l-й.

Пример 1. Задать сетевой граф, изображенный на рис. 1 различными способами.

Рис 1.

Решение:

1. Графическое задание представлено на рисунке.

2. Множеством вершин и дуг:

V={1,2,3,4,5,6}, E={(1,2),(1,3),(2,4),(2,5),(3,4),(4,6),(5,6)}.

3. Матрицей инцидентности:

Таблица 1

G	a	b	c	d	e	f	g
1	-1	-1	0	0	0	0	0
2	1	0	0	-1	-1	0	0
3	0	1	-1	0	0	0	0
4	0	0	1	1	0	0	-1
5	0	0	0	0	1	-1	0
6	0	0	0	0	0	1	1

4. Матрицей смежности:

Таблица 2

G	1	2	3	4	5	6
1	0	1	1	0	0	0
2	0	0	0	1	1	0
3	0	0	0	1	0	0
4	0	0	0	0	0	1
5	0	0	0	0	0	1
6	0	0	0	0	0	0

5. Списком ребер:

Таблица 3

Ребро	Вершины
a	1,2
b	1,3
c	3,4
d	2,4
e	2,5
f	5,6
g	4,6

Пример 2. Построить графическое изображение графа заданного матрицей инцидентности вида:

Таблица 4

G	I	II	III	IV	V	VI	VII
1	1	1	0	0	0	0	0
2	1	0	1	0	0	0	0
3	0	1	0	1	0	0	0
4	1	0	0	0	1	0	0
5	0	0	1	1	0	0	0
6	0	0	1	1	0	0	0
7	0	0	0	1	0	0	0
8	0	0	1	0	1	0	0
9	0	0	0	1	0	0	1
10	0	0	0	0	1	1	0
11	0	0	0	0	0	1	1

Решение.

При наличии матрицы инцидентности число всех вершин и число ребер графа определяется очевидным образом по размеру матрицы: число ребер графа |E| равно числу строк m, а число вершин |V| – числу столбцов n матрицы. В данном примере m=11, n=7.

Граф выглядит следующим образом:

Рис. 2

Пример 3. Построить графическое изображение орграфа заданного матрицей смежности вида:

Таблица 5

G	I	II	III	IV	V	VI	VII
I	0	1	1	0	0	0	0
II	0	0	0	1	0	0	0
III	0	0	0	0	2	1	1
IV	0	1	0	1	0	0	0
V	0	0	0	0	0	0	0
VI	0	0	0	0	0	0	0
VII	0	0	0	0	0	0	1

Решение.

По матрице смежности определим число вершин графа определяется порядком n матрицы. В данном примере n=7. Число ребер орграфа определяется всеми элементами матрицы смежности. Отсюда их число равно:

=10.

Граф выглядит следующим образом:

Рис. 3

Пример 4. Построить графическое изображение двух графов G₁ и G₂ заданных списками своих ребер вида:

Таблица 6 Таблица 7

G1			G2
Ребро	Вершины		Ребро	Вершины
a	1,2		a	1,2
b	2,2		b	2,3
c	2,3		c	3,4
d	3,3		d	4,5
e	3,5		e	1,1
f	1,4		f	1,5
g	4,5		g	5,5

Решение.

Количество вершин равно 5, количество ребер равно 7. Графы выглядят следующим образом:

Рис. 4 Рис. 5