Виды экстремумов.

• Локальный экстремум - это точка, в которой достигается наибольшее (или наименьшее) значение функции в НЕКОТОРОЙ (сколь угодно малой) ОКРЕСТНОСТИ данной точки.

• Условный экстремум - это точка, в которой достигается наибольшее (или наименьшее) значение функции, при некотором УСЛОВИИ на переменную.

(условный экстремум, так же, как и обычный, может быть локальным и глобальным).

• Локальный условный экстремум - это точка, в которой достигается наибольшее (или наименьшее) значение функции в НЕКОТОРОЙ (сколь угодно малой) ОКРЕСТНОСТИ данной точки, НА МНОЖЕСТВЕ, удовлетворяющем условию связи.

• Глобальный условный экстремум - это точка, в которой достигается наибольшее (или наименьшее) значение функции НА ВСЁМ МНОЖЕСТВЕ, удовлетворяющем условию связи.

Экстремум в Математическом анализе.

a) Монотонность функции:

Функция называется возрастающей на промежутке , если для любых точек и из промежутка , удовлетворяющих неравенству . Функция называется убывающей на , если из условия следует .

Теорема. Если функция непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале , то для того, чтобы была возрастающей (убывающей) необходимо и достаточно, чтобы в каждой внутренней точке интервала .

Дифференцируемая функция является возрастающей на промежутке тогда и только тогда, когда .

Пример. Найти промежутки возрастания и убывания функции .

Вычислим: : .

Точки делят числовую прямую на три интервала: .

Производная положительна на интервалах . Следовательно, функция возрастает на каждом из этих интервалов. На интервале производная неположительная, значит, убывает на этом интервале.

б) Локальный экстремум:

Точка называется точкой локального максимума функции , если существует интервал , содержащий точку такой что .

Точка называется точкой локального минимума функции , если существует интервал , содержащий точку такой что .

Точки локального минимума и локального максимума называются точками локального экстремума.

Необходимым условием локального экстремума дифференцируемой функции является выполнение равенства . Поэтому точки, в которых дифференцируемая функция может иметь локальный экстремум, находят, решая уравнение:

Решения этого уравнения называют стационарными точками.

в) Исследование стационарных точек:

I правило. Если при возрастании при переходе через стационарную точку производная меняет знак с + на , то точка локального максимума. Если меняет знак с на + , то точка локального минимума функции . Если не меняет знак в точке , то экстремума нет.

II правило. Если вторая производная в стационарной точке положительная, то точка локального минимума функции . Если вторая производная в стационарной точке отрицательная, то точка локального максимума функции .

Точками локального экстремума функции могут быть такие точки, в которых производная не существует или обращается в бесконечность. Исследовать такие точки можно по I правилу. Экстремум в такой точке называется острым экстремумом.

Пример. Найти экстремум функции

.

.

Функция имеет стационарную точку (в этой точке производная равна нулю). В точке производная обращается в бесконечность.

Поскольку при и при , то функция имеет в точке локальный минимум . Это будет острый минимум.

При переходе через стационарную точку производная меняет знак с на +, значит, функция имеет локальный максимум.

г) Глобальный экстремум

Непрерывная на отрезке функция принимает свое наибольшее значение и свое наименьшее значение в точках этого отрезка. Эти значения могут достигаться либо в стационарных точках отрезка, либо в точках недифференцируемости функции, либо в граничных точках отрезка. Поэтому для нахождения значений и поступают следующим образом.

• Находят стационарные точки функции;

• Находят точки , в которых производная не существует или обращается в бесконечность;

• Вычисляют значения:

и выбирают среди этих чисел наибольшее и наименьшее.

Это и будут и глобальные экстремальные значения.

Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .

;

.

Вычисляем . Получаем числа . Следовательно, , .

Исследование функции и построение графика.

График функции , заданной на множестве , т.е. множество точек плоскости с координатами , обычно строят с некоторой степенью приближения, так как точное построение невозможно.

Для построения графика функции выясняют особенности поведения функции. Существенную роль при этом играют характерные точки: концевые точки промежутков задания функции, точки разрыва, стационарные точки и точки недифференцируемости функции и ее производной и т.д. По этим точкам выделяются участки однообразного поведения функции, а именно: промежутки ее непрерывности; промежутки, на которых и сохраняют знак, что позволяет изучить характер монотонности функции и направление ее выпуклости.

Построение графика функции может быть осуществлено по следующему плану:

Если функция задана аналитическими выражениями, то выясняют естественную область определения функции, т.е. множество значений аргумента , при которых имеет смысл.

Если функция периодическая, то находят ее период, т.е. число такое, что , (обычно рассматривают наименьший положительный период). Дальнейшее изучение функции и построение графика проводят для какого-либо отрезка длины , например, для , а затем периодически продолжают.

Для четной функции: , или нечетной: . Исследование проводят на промежутке . Построенный график продолжают на все множество , используя симметричное отражение относительно оси для четной функции и относительно точки для нечетной функции.

Находят точки разрыва и промежутки, на которых она непрерывна. Выясняют характер точек разрыва. Вычисляют предельные значения функции в граничных точках множества (если таковые имеются). Находят вертикальные асимптоты (в точках бесконечного скачка). Если не ограничено, то вычисляют пределы функции при и . Если , то график имеет горизонтальную левостороннюю асимптоту , если , график имеет горизонтальную правостороннюю асимптоту . Если пределы (или один из пределов) бесконечны, то график может иметь наклонные (левостороннюю и правостороннюю) асимптоты . Коэффициенты левосторонней асимптоты можно найти по формулам:

Аналогично находят коэффициенты правосторонней асимптоты (нужно вычислить пределы при ).

Вычисляют производную . Находят критические точки функции , т.е. стационарные точки и точки, в которых не существует. Выделяют промежутки, на которых сохраняет знак. Это позволяет исследовать монотонность функции .

Вычисляют вторую производную . Находят критические точки производной . Выделяют промежутки, на которых сохраняет знак, и, следовательно, график функции сохраняет направление выпуклости. Находят точки перегиба, исследуя критические точки производной (т.е. точки, в которых равны нулю или не существуют).

Исследуя стационарные точки функции , находят точки локального экстремума и локальные экстремальные значения функции. Для этого можно изучить поведение производной в окрестности стационарной точки или значение в стационарной точке. Изучают точки недифференцируемости функции, выясняя наличие локальных экстремумов в таких точках по поведению производной в их окрестностях.

Опираясь на характерные точки функции, строят таблицу, в которую вносят все особенности функции.

На координатную плоскость в выбранном масштабе наносят характерные точки функции, асимптоты и строят график, руководствуясь п. 16. Если нужно, строят дополнительно несколько точек графика.