Алгоритм розв’язання

1. Зводимо рівняння до виду .

2. Використовуючи підстановку знаходять і підставляють ці вирази в рівняння .

3. Групують члени рівняння , виносять одну із функцій або за дужки. Знаходять другу функцію , прирівнявши вираз в дужках до нуля і розв’язавши одержане рівняння .

4. Підставляють знайдену функцію в вираз , що залишився і знаходять другу функцію .

5. Записують загальний розв’язок , підставивши вираз для знайдених функцій і в рівність .

6. Якщо потрібно знайти частинний розв’язок , то визначають С із початкових умов і підставляють в загальний розв’язок .

Приклад. Знайти загальний розв’язок рівняння .

Запишемо дане рівняння у вигляді .

Використовуємо підстановку , звідки . Підставляємо значення і в останнє рівняння :

Згрупуємо члени , що містять , і винесемо за дужки :

Знайдемо функцію таку , що =0. Розв’язуємо це рівняння як рівняння з відокремлюваними змінними , тобто , звідси після інтегрування , одержимо

Підставивши значення функції в рівняння, знайдемо

Отже, загальним розв’язком даного рівняння є функція

Вправи:

Знайти загальні розв’язки лінійних рівнянь :

51. 52.

53. 54.

55. 56.

57. 58.

59. 60.

Знайти частинні розв’язки рівнянь :

61. .

62. .

63.

64. .

65. .

§7.Рівняння , які зводяться до лінійних . Рівняння Бернуллі та Ріккаті .

Розглянемо класи рівнянь , які за допомогою певних перетворень можна звести до лінійних .

Рівнянням Бернуллі називається рівняння виду .

При n=0 це рівняння - лінійне , а при n=1 – з відокремлюваними змінними. Припускаючи поділимо дане рівняння на , тоді матимемо рівняння виду

Таким чином , заміною рівняння Бернуллі зводиться до лінійного рівняння . Проте на практиці розв’язок рівняння Бернуллі зручніше шукати методом Бернуллі у вигляді , не зводячи його до лінійного . Слід зазначити , що при , крім розв’язку , рівняння Бернуллі має розв’язок

Рівнянням Ріккаті називається рівняння виду

- задані функції .

Якщо p , f , q – сталі числа , то це рівняння інтегрується відокремленням змінних . Коли то дане рівняння стає лінійним , а у випадку рівнянням Бернуллі . У загальному випадку рівняння Ріккаті не інтегрується в квадратурах . Проте якщо відомо його один частинний розв’язок , то заміною рівняння Ріккаті зводиться до рівняння Бернуллі .

Приклад. Розв’язати рівняння

Задане рівняння є рівнянням Ріккаті . Неважко пересвідчитись , що функція у = х - розв’язок цього рівняння , тому заміна зводить його до рівняння Бернуллі :

Далі маємо

- ;

Отже , розв’язком даного рівняння є :

у = х ; =

Вправи

Розв’язати рівняння Бернуллі :

66. 67.

68. 69.

70. ; 71.

72. 73.