§ 3. Диференціальні рівняння першого порядку з відокремленими змінними .

Рівняння виду - дані функції , називається рівнянням з відокремленими змінними .

Це рівняння можна переписати у вигляді .

Розв’язуються такі рівняння безпосереднім інтегруванням .

Приклад. Розв’язати рівняння

Розв’язання . Змінні тут розділені . Інтегруючи , одержимо

Знайти загальні розв’язки рівнянь :

15. ) ; 16. ;

17. 18. ;

19. ; 20. ;

Знайти частинні розв’язки рівнянь :

21. ;

22.

23.

§4. Диференціальні рівняння першого порядку з відокремлюваними змінними .

Рівняння вигляду , де функції , називається рівнянням з відокремлюваними змінними .

Спосіб інтегрування . Відокремити змінні , поділивши обидві частини рівняння на , і проінтегрувати :

Приклад 1. Розв’язати рівняння :

Розв’язання. Маємо диференціальне рівняння першого порядку з відокремлюваними змінними . Відокремимо змінні , поділивши праву і ліву частину рівняння на Маємо , .

Інтегруючи ліву і праву частини останньої рівності , одержуємо

= - або , звідки .

Вправи

Розв’язати рівняння :

24. 25.

26. 27.

28. 29.

30. ) 31.

32. ;

33.

34.

Знайти частинні розв’язки рівнянь :

35 .

36. при

37.

38.

39. при ;

40 .

§5. Однорідні диференціальні рівняння першого порядку

Функція називається однорідною функцією порядку k відносно змінних x і y , якщо

Наприклад , – однорідна функція третього порядку , оскільки

Диференціальне рівняння першого порядку називається однорідним якщо функція - однорідна функція нульового порядку.

Його можна записати у вигляді , де - однорідні функції одного і того самого порядку .

Однорідні диференціальні рівняння зводяться до диференціальних рівнянь з відокремлюваними змінними підстановкою - нова невідома функція .

Приклад 1. Знайти розв’язок рівняння

В даному рівнянні функції - однорідні другого порядку , тому дане рівняння є однорідним. Замінимо , звідси Підставляючи ці вирази і в дане рівняння

тобто або

Відокремлюємо змінні ( вважаючи ):

Інтегруючи почленно це рівняння ( враховуючи , що ):

=

Повертаючись до попередньої функції знаходимо загальний інтеграл

Вправи:

Розв’язати рівняння :

41 . ;

42.

43. ;

44.

45.

46.

47.

Знайти частинні розв’язки рівнянь :

48.

49.

50.

§6. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку .

Рівняння вигляду яке лінійне відносно невідомої функції та її похідної , називається лінійним диференціальним рівнянням першого порядку .

Вважатимемо , що p i f – задані функції , що визначені і неперервні на

Якщо , то рівняння називається лінійним однорідним , у протилежному випадку – лінійним неоднорідним .

Лінійне однорідне рівняння є рівнянням з відокремлюваними змінними .

Є кілька методів інтегрування лінійного неоднорідного рівняння . Один із них ( метод Бернуллі ) полягає в тому , що розв’язок цього рівняння рівняння шукають у вигляді де - невідомі функції , причому одна із них довільна ( але не рівна тотожно нулю).

Знаходячи похідну і підставляючи значення та в рівняння , дістанемо

Користуючись довільністю у виборі функції , доберемо її так , щоб тоді Розв’яжемо ці рівняння .