Додаток 6

Практичне заняття

Тема: Не факторіальні кільця.

Мета: сформувати поняття факторіального кільця, розкладного елемента кільця, сформувати вміння доводити факторіальність кільця, визначати однозначний розклад елемента кільця, користуватися властивостями НСД та НСК у факторіальному кільці.

Хід заняття

Питання для повторення та актуалізації

1. Який елемент однозначно розкладається на нерозкладні множники?

2. Що називають факторіальним кільцем? Навести приклади.

3. Вказати ознаку факторіального кільця.

4. Навести властивості НСД та НСК у факторіальному кільці.

Завдання для аудиторної роботи

Задача 1: Визначити, чи має елемент 4 кільця однозначний розклад на

нерозкладні множники.

Правило-орієнтир:

• За означенням розкладного елемента записати число у вигляді ;

• Прирівняти норми;

• Знайти всі дільники числа в даному кільці;

• Перевірити чи є отримані дільники нерозкладними.

Розв’язання:

Нехай дільник 4 в , тоді існує , що .

Прирівняємо норми. За норму в заданому кільці вважатимемо:

звідси слідує, що дільник 16, тобто одне з чисел 1,2,4,8,16. Розглянемо такі випадки:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

Ми знайшли всі дільники числа 4 . І бачимо, що наприклад

4=2 2=( ) . Тепер пересвідчимось, що 2, , - нерозкладні елементи кільця . Якщо ділить , то також ділить і 4. Всі дільники 4 ми вже знайшли, для кожного з них неважко перевірити, чи ділять вони .

Ми отримали дільники . Ці дільники невласні, отже, - нерозкладний елемент.

Нерозкладність елементів , встановлюємо аналогічно (перевірку зробити самостійно).

Крім цього, число 2 не асоційоване ні з , ні . Отже, доведено, що в кільці елемент 4 не має однозначного розкладу на нерозкладні множники.

Таким чином, можемо зробити висновок, що кільце є не факторіальним.

Вправи на закріплення:

1. Визначити, чи має даний елемент кільця однозначний розклад на нерозкладні множники.

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

Задача 2: Обчислити кількість дільників елемента кільця .

Правило-орієнтир:

1. Знайти канонічний розклад числа : , де - оборотний елемент, - прості (нерозкладні елементи);

2. Знайти оборотні елементи в даному кільці;

3. Обчислити кількість дільників за формулою: , де кількість способів обрати оборотній елемент.

Розв’язання:

1. 

Так як

2. Оборотними елементами кільця 1,-1, ,- .

3. 

.

Вправи на закріплення:

2. Обчислити кількість дільників кожного з наступних елементів кільця .

1. 32;

2. 60;

3. ;

4. .

Запитання для закріплення:

1. Чи завжди у факторіальному кільці можна обчислити кількість дільників деякого елемента?

2. Чи можна обчислити кількість дільників у КГІ та ЕК? Чому?

Задача 3: Чи існує НСД чисел: і в кільці

Правило-орієнтир:

1. Знайти всі дільники першого числа;

2. Знайти всі дільники другого числа;

3. Серед усіх дільників вибрати список спільних дільників.

4. Перевірити чи є серед отриманого списку дільників НСД.

Розв’язання:

1. Знайдемо дільники 6:

Прирівняємо норми і отримаємо:

Дільники: 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

Отже, отримали такі дільники:

2. Знайдемо дільники

Прирівняємо норми і отримаємо:

Дільники: 54: 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

. Отже, отримали такі дільники:

3. В результаті даних обрахунків отримали список спільних дільників: .

4. Жодне з чисел 1, -1, , не є НСД бо вони не діляться на 3. Крім цього 3 і -3 також не будуть НСД даних чисел, оскільки 3 і – 3 не діляться на . Отже, в кільці не існує НСД чисел 6 і

.

Вправи на закріплення:

3. Визначити, чи існує в кільці НСД наступних пар елементів. Якщо так, знайти НСД.

1. ;

2. , ;

3. , .

4. Визначити, чи існує в кільці НСД наступних пар елементів. Якщо так, знайти НСД.

1. ;

2. , ;

3. , .

Задача 4: Нехай - ненульові елементи кільця і існує НСД( ). Чи випливає звідси, що існує НСК( )?

Розв’язання:

Розглянемо елементи 3 і з . Знайдемо НСД цих чисел. Для цього знайдемо список спільних дільників.

Знайдемо дільники 3:

Прирівняємо норми і отримаємо:

Дільники: 9: 1, 3, 9

1.

2.

4.

Отже, отримали такі дільники:

Очевидно, що 1 і -1 ділять . Далі, .

Таким чином, маємо список спільних дільників наших чисел:1 і -1. Отже, НСД даних чисел існує (з точністю до асоційованості) і дорівнює 1. Припустимо, що існує НСК( ). Тоді повинна виконуватись рівність: НСК( ) НСД( ) = . Для наших чисел рівність переписуємо так:

НСК( . Тоді мусить ділити будь-яке спільне кратне наших чисел. Але це не так: 6 – спільне кратне , але не ділить 6. Отримана суперечність означає, що НСК( ) не існує.

Запитання для закріплення:

1. Чи вірне обернене твердження: нехай – ненульові елементи кільця К. довести, що якщо існує НСК( ), то існує НСД( ), i справедлива рівність НСК( ) НСД( ) .

2. Чи справедливі дані твердження для факторіальних кілець, евклідових кілець?

Завдання для самостійного опрацювання:

1. Визначити, чи має даний елемент кільця однозначний розклад на нерозкладні множники.

1. ;

2. .

2. Обчислити кількість дільників кожного з наступних елементів кільця .

1. 17;

2. .

3. Визначити, чи існує в кільці НСД наступних пар елементів. Якщо так, знайти НСД.

1. ;

2. , .

4. Визначити, чи для даних виконується рівність

НСД ( ) = НСД ( ), де

1. = 3, = 2i , = 3;

2. .

59