Додаток 5

Практичне заняття

Тема: Евклідові кільця.

Мета: сформувати поняття евклідового кільця, евклідової норми, НСД та НСК двох елементів кільця, сформувати вміння використовувати алгоритм Евкліда для знаходження НСД двох чисел та розв’язування інших алгебраїчних задач.

Хід заняття:

Питання для повторення та актуалізації

1. Що означає задати евклідову норму? Навести приклади.

2. Евклідовим кільцем називають. . . . Навести приклади.

3. Описати алгоритм Евкліда.

4. Яким способом знаходиться НСД двох елементів?

5. Чи існує зв’язок між евклідовими кільцями та кільцями головних ідеалів? Якщо так, який?

Завдання для аудиторної роботи

Задача 1: За допомогою алгоритму Евкліда обчислити НСД многочленів , а також знайти лінійне представлення НСД .

Правило-орієнтир:

1. Порівняти степені даних многочленів.

2. Застосувати алгоритм Евкліда, вважаючи першим многочлен вищого степеня.

3. Остання не нульова остача – НСД( ).

4. Піднімаючись знизу вгору по алгоритму Евкліда знайти лінійне представлення НСД.

Зауваження: нагадуємо, що коли , то

Розв’язання:

1. 

0

3. НСД( )

4. 

Отже,

Вправи на закріплення:

1. За допомогою алгоритму Евкліда обчислити НСД многочленів , а також знайти лінійне представлення НСД .

1. 

;

2)

.

Задача 2: Нехай користуючись алгоритмом Евкліда обчислити у факторкільці .

Вказівка: 1) Елемент називають оберненим до елемента , якщо .

2) Елемент, для якого існує обернений, називають оборотнім.

3) Щоб елемент був оборотним необхідно і достатньо, щоб

.

4) для заданої задачі:

, .

Розв’язання:

За допомогою алгоритму Евкліда знаходимо НСД( ).

Таким чином,

.

Вправи на закріплення:

2. Нехай користуючись алгоритмом Евкліда обчислити обернений елемент у факторкільці .

1. ;

2. ;

3. .

Задача 3: Довести, що кільце цілих гаусових чисел є евклідовим.

Доведення:

Нехай норма числа визначається рівнянням

, тоді з буде слідувати:

Норма є цілим числом і (як сума двох квадратів) дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли , в усіх інших випадках вона є додатною.

Добуток перетворюється в нуль тільки тоді, коли або .

Таким чином, кільце гаусових чисел є областю цілісності.

Для того, щоб отримати алгоритм ділення для цілих чисел необхідно знайти для даних число , що має меншу норму, за норму . Для цього потрібно поділити на з остачею, отримаємо

. , що задовольняє умову , а тоді замінимо найближчими до них цілими числами ( , )

Покладемо . Тоді отримаємо:

(так як )

Отже, .

Таким чином, ми знайшли алгоритм ділення, а отже, встановили, що дане кільце є евклідовим.

Задача 4: За допомогою алгоритму Евкліда в кільці обчислити НСД чисел:

Розв’язання: (за допомогою алгоритму, що описаний в задачі 3)

1. 

Ділимо на , тому що норма більша.

Найближчими цілими числами до та є відповідно 0 і 1. Тому покладемо неповну частку при діленні на рівною .

Обчислимо остачу з рівності:

Отже, першою рівністю в алгоритмі Евкліда буде:

2. 

3. 

Отже, .

Таким чином, НСД( .

Вправи на закріплення:

3. За допомогою алгоритму Евкліда в кільці обчислити НСД наступних пар чисел.

1) ;

2) ;

3) .

4. За допомогою алгоритму Евкліда в кільці обчислити НСД наступних пар чисел.

1) ;

2) ;

3) .

Вказівка: евклідовою нормою в є

Запитання для закріплення:

1. Довести, що в кільці функція , визначена правилом є евклідовою нормою.

2. Якими способами можна перевірити чи є дане кільце евкілодим кільцем.

3. Довести, що кільце не є евклідовим.

4. Нехай – евклідове кільце і евклідова норма на . Довести, що елемент є оборотним тоді й лише тоді, коли

Завдання для самостійного опрацювання:

1. За допомогою алгоритму Евкліда обчислити НСД многочленів , а також знайти лінійне представлення НСД .

.

2. Нехай користуючись алгоритмом Евкліда обчислити обернений елемент у факторкільці :

.

3. За допомогою алгоритму Евкліда в кільці обчислити НСД наступних пар чисел.

1) ;

2) .

4. За допомогою алгоритму Евкліда в кільці обчислити НСД наступних пар чисел.

1) ;

2) .