Додаток 4

Практичне заняття

Тема: Ідеали кільця. Кільця головних ідеалів.

Мета: сформувати поняття ідеалу кільця, лівого та правого ідеалів кільця, фактор-кільця, головного ідеалу, кільця головних ідеалів, гомоморфізму кілець, сформувати вміння використовувати означення гомоморфізму кілець, кільця головних ідеалів.

Хід заняття

Запитання для повторення та актуалізації знань.

1. Що називають лівим (правим) ідеалом кільця К?

2. Що означає позначення аВ?

3. Ідеалом кільця К називають… .

4. В яких кільцях поняття лівого, правого та двостороннього ідеалів не розрізняють?

5. Які операції можна виконувати над ідеалами?

6. Що називають сумою ідеалів? добутком?

7. Який ідеал називають одиничним?

8. Нульовим ідеалом називають… .

9. Фактор-кільце – це… .

10. Який ідеал є головним?

11. Кільцем головних ідеалів називають… .

12. Відображення кілець називають гомоморфним, якщо… .

13. Вказати властивості гомоморфних відображень кілець.

14. Ізоморфізмом кілець називають… .

15. Ядром гомоморфізму називають… .

16. Ядром гомоморфізму є… .

17. Сформулювати теорему про гомоморфізм кілець.

Завдання для аудиторної роботи:

Задача 1: В кільці цілих чисел Z виконати дії над його ідеалами:

.

Вказівка:

Означення 1: Сумою ідеалів називають

.

Очевидно, що .

Означення 2: Добутком ідеалів називають .

Зауваження: якщо , то . Чому?

Розв’язання:

Запитання для закріплення:

1. Довести, що сума ідеалів є ідеалом.

2. Довести, що перетин ідеалів є ідеалом.

3. Довести, що в кільці цілих чисел ідеал породжений елементами співпадає з головним ідеалом породженим їх НСД.

Вказівка: 1)

2) Використайте лінійне представлення НСД двох чисел.

Вправи на закріплення:

1. В кільці цілих чисел Z виконати дії над його ідеалами:

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

Запитання для закріплення:

1. Як пов’язані між собою НСК і НСД двох елементів кільця з операціями над ідеалами, породженими цими елементами?

Задача 2: Довести, що в кільці M(2,Z) матриць другого порядку з цілими елементами лівий ідеал утворює підмножина Т матриць виду , .

Правило – орієнтир:

1. Перевірити чи сума та різниця будь-яких двох елементів ідеалу належать ідеалу;

2. Перевірити чи добуток довільного елемента з кільця на елемент з ідеалу належить ідеалу (елемент з ідеалу на довільний елемент з кільця – для правого ідеалу).

Розв’язання:

1. 

2. 

Отже, Т – лівий ідеал кільця M(2,Z).

Запитання для закріплення:

1. Чи утворює підмножина Т із задачі 2 правий ідеал?

2. Нехай І – ідеал кільця R. Довести, що коли І містить хоча б один оборотний елемент, то І=R.

Вправи на закріплення:

2. Довести, що ідеалами є:

1. В кільці підкільце ;

2. В кільці множина ;

3. В кільці множина .

3. Знайти породжуючий елемент в кожному з ідеалів в кільці Z.

1. ;

2. ;

3. .

Задача 3: Побудувати фактор-кільце кільця цілих чисел Z за

головним ідеалом І= . Скласти таблиці додавання і множення

для елементів фактор-кільця.

Правило – орієнтир:

1. Виписати елементи кільця К.

2. Виписати елементи ідеалу кільця І.

3. Описати всі класи лишків кільця К за ідеалом І з представником .

4. За допомогою формул: , утворюємо таблички додавання та множення для елементів фактор-кільця.

Розв’язання:

1. ;

2. ;

3. ; (тобто це множини, елементи яких при діленні на 6 мають остачу , тобто це класи лишків за модулем 6).

;

;

;

;

.

Ці класи лишків, як відомо, вичерпують всі класи лишків за модулем 6. Розглянемо, наприклад, клас лишків .

341=336+5,

4. Побудуємо таблиці додавання та множення для елементів фактор кільця

Множення та додавання класів виконується за відомими правилами для класів лишків.

Вправи на закріплення:

4. Побудувати фактор-кільце.

1. в ;

2. в ;

3. в ; (Вказівка: )

4. в ; (Вказівка: , див. зауваження)

5. Побудувати фактор-кільце кільця за його ідеалом . Скласти таблиці додавання і множення.

(Вказівка:

Задача 4: Нехай - відображення кільця діагональних матриць

на кільце раціональних чисел , причому

для будь-яких . Довести, що і знайти його

ядро.

Правило – орієнтир:

Для встановлення гомоморфізму кілець необхідно:

1. Задати відображенні (тобто, правило відшукання образа);

2. Перевіряємо, чи образ добутку дорівнює добутку образів:

;

3. Перевіряємо, чи образ суми дорівнює сумі образів:

;

4. Знайти повний прообраз нейтрального елемента кільця К.

Розв’язання:

1. - правило відшукання образа;

2. 

Отже, .

3. 

Отже, .

Таким чином, задане відображення є гомоморфним.

4. 

Таким чином, ядро даного гомоморфізму утворює множина елементів виду: .

Запитання для закріплення:

1. Чи буде відображення гомоморфізмом, якщо:

1. ;

2. 

3. ;

4. ;

Вправи на закріплення:

6. Нехай - відображення кільця матриць

на кільце раціональних чисел , причому для будь-яких . Довести, що гомоморфізм і знайти його ядро.

7. Нехай С – кільце всіх комплексних чисел і - кільце матриць другого порядку над полем комплексних чисел. Відображення визначається таким чином: . Перевірити, чи є задане відображення гомоморфізмом.

Завдання для самостійного опрацювання.

1. Нехай і – множини матриць виду:

і ,

Довести, що є ідеалом в R верхніх трикутних матриць над , є ідеал кільця , але не є ідеалом кільця R.

2. Знайти всі ліві ідеали кільця .

3. В кільці цілих чисел Z виконати дії над його ідеалами:

1. ;

2. ;

3. ;

4. .

3. У кільці побудувати фактор-кільце .

4. Довести, що фактор-кільце кільця з одиницею за будь-яким його ідеалом містить також одиничний елемент.

5. Нехай К – кільце всіх матриць виду

. Задамо відображення таким способом:

. Довести, що – гомоморфізм. Знайти ядро заданого гомоморфізму.