Властивості бінарних відношень:

Зауваження: наводячи приклад відношення перш за все слід вказати

множину, на якій вводиться відношення.

Нехай відношення задане на множині А.

1. рефлексивність:

Р

2. іррефлексивність:

ІР

3. симетричність:

С

4. антисиметричність:

АНТИС

5. асиметричність:

АС

6. транзитивність:

Т

7. досконалість:

Д

Задача 3: На множині R задано відношення («бути більшим»).

Перевірити, які властивості має дане відношення.

Розв’язання:

1. Р: - число не може бути більшим за себе

тому відношення «бути більшим» на

множині R не є рефлексивним.

2. ІР: - будь-яке число з даної множини не

більше саме за себе, тому дане

відношення є іррефлексивним.

3. С: - дана імплікація не є істинною,тому що

існують такі числа для яких вона не

виконується. Отже, дане відношення не є

симетричним.

4. АНТИС: - імплікація істинна, бо її

умова хибна, таким чином задане

відношення є антисиметричним.

5. АС: - в множині дійсних чисел виконується

для всіх , тому дане відношення є

асиметричним.

6. Т: – імплікація істинна, отже,

відношення є транзитивним.

7. Д: - в множині R дана умова

виконується для всіх , таким чином

відношення є досконалим.

Отримані результати зручно записувати у вигляді таблички:

Р	ІР	С	АНТИС	АС	Т	Д
-	+	-	+	+	+	+

Наведені властивості відношень утворюють наступні класи відношень, які можна записати у вигляді таблички:

Клас відношень	Властивості
	Р	ІР	С	АНТИС	Т	Д	приклад
Еквівалентність	+		+		+		на множині
Строгий порядок		+		+	+		«х нашадок у» на множині людей
Строгий лінійний порядок		+		+	+	+	«х<у» на множині R
Нестрогий порядок	+			+	+		« » на множині підмножин множини U
Нестрогий лінійний порядок	+			+	+	+	« » на множині R
Толерантність	+		+				«схожість між словами»* на множині слів

табл. 1

Вказівка:* два слова, що мають однакову кількість букв,вважають схожими, якщо вони можуть бути утворені одне з одного заміною не більше, як однієї букви.

Перевіримо за допомогою табл. 1 якому класу відношень належать відношення «бути більшим» на множині дійсних чисел. Виходячи з результатів дослідження отримуємо, що дане відношення є відношенням строгого лінійного порядку.

Вправи для закріплення:

3. Перевірити, які властивості мають наступні відношення. Вказати до яких класів відношень вони належать:

1) « проживає в одному будинку з » на множині жителів м. Черкаси;

2) « батько або мати » на множині людей;

3) « » на множині людей;

4) « » на множині ;

5) « » на множині R;

6) « і однакової парності» на множині ;

7) на множині ;

8) на множині .

Запитання для закріплення

1. Наведіть приклад відношення, яке є симетричним і транзитивним

одночасно.

2. Наведіть приклад відношення еквівалентності.

3. Придумайте приклад відношення, яке має нестрогий лінійний порядок.

Означення 3: Композицією відношень називається відношення, яке

складається з усіх можливих упорядкованих пар , де

, для яких існує такий елемент , що

. Позн. .

Задача 4: Знайти композицію відношень на множині :

;

.

Розв’язання:

Утворимо композицію . Для цього візьмемо перший елемент з - , і в шукаємо пару, в якій перша компонента рівна другій компоненті з , тобто а. Такою парою є . За означенням – перший елемент нашої композиції. Аналогічно розглядаємо усі інші елементи .

Отже, .

Утворимо композицію . Розглянувши всі елементи, отримуємо: .

Вправи для закріплення:

4. Знайти композицію відношень, взятих у різному порядку, порівняти їх:

А) на множині , , ;

Б) «х батько у» і «х мати у» на множині всіх людей;

В) «х ділиться на у» і «х є дільником у» на множинах

відповідно.

Завдання для самостійної роботи:

1. У множині операцію множення задано за таким правилом:

Довести, що дана операція є комутативною, асоціативною.

2. Чи є наступні операції асоціативними, комутативними:

1. на , ;

2. на R, .

3. Навести по три приклади до кожного з класів відношень табл.1.

4. Довести, що будь-яке асиметричне відношення є антисиметричним. Обґрунтувати той факт, що обернене твердження не правильне.