Основы гравиметрии Введение

1. Предмет гравиметрии;

2. Определение поверхности земли по измерениям силы тяжести;

3. Задачв Стокса;

4. Задача Молодецкого.

1. Гравиметрия – это наука об измерениях силы тяжести Земли – g. Основной формулой, из которой можно определить ускорение силы тяжести является: F=mg, если принять m=1, то F=g.

2. Сила тяжести необходима для определения поверхности Земли относительно земного эллипсоида. Что бы определить поверхность Земли необходимо знать координаты любой её точки. Для определения любой точки необходимо знать широту и долготу (B,L), а также геодезическую высоту (Н). Обычным нивелированием мы определяем нормальную высоту относительно геоида. Нормальная высота определяется относительно уровня моря геометрическим нивелированием, однако геодезические высоты, во-первых отсчитываются от поверхности эллипсоида по нормали к А.

А равно: , где – высота геоида над эллипсоидом.

Задачей физической геодезии было определение значения . Высота геоида над эллипсоидым определяется по формуле Брумса. Для записи формулы Брумса зададимся потенциалом

Пусть в известен потенциал реальной силы тяжести W. Геоид совпадает с уровнем моря. С увеличением высоты потенциал эллипсоида меняется, а именно уменьшается. Тогда потенциал силы притяжения эллипсоида в будет равен:

«-» указывает на то, что с увеличением высоты потенциал уменьшается. Для определения высоты геоида над эллипсоидом находят разность W-U=T, где Т – возмущающий потенциал.

W- T. Проанализировав формулу, производная потенциала по любому направлению ровна силе вдоль этого направления. , тогда

W- T, отсюда можно записать высоту :

при W= , то – формула высоты геоида над эллипсоидом.

– ускорение силы притяжения породнённая эллипсоидом, масса которого равна массе Земли.

Т – потенциал, который необходимо определить.

Возмущающий потенциал определяется из решения так называемых краевых задач. Задачи называются краевыми, потому что на краях поверхности или по контурам фигур в точках 1, 2 и т.д. заданы значения по всем контурам или поверхностям . Всего существует 3 задачи.

I краевая задача: пусть на поверхности измерено значение возмущающего потенциала Т, тогда можно найти значение функции этого потенциала от широты и долготы:

Т=f(B,L) – задача Дирехле

II краевая задача: пусть в точке А известен реальный потенциал притяжения W, а также потенциал притяжения эллипсоида U. Тогда W-U=T. Продифференцируем это вырожение:

Тогда запишем краевое условие II краевой задачи:

В этой задаче необходимо решить дифференциальное уравнение относительно Т в каждой точке Земли. Также измерить силу тяжести g, вычислить тогда можно определить функцию Т в зависимости от и координат точек зная Т по формуле Брумса.

В настоящее время решение II краевой задачи является актуальным вопросом, так как имеется возможность определить значение в точке А. в общем случае значение f(A):

Геодезическая высота определяется спутниковыми методами, например GPS-Методом.

III краевая задача. Также допускается, что известна реальный потенциал W, потенциал U земного эллипсоида в А.

W-U=T, но до XXI века значения U и А нельзя было определить. Задавались значения U₀ на поверхности земного эллипсоида в А₀, высотой из геометрического нивелирования и тогда вычисляется H. В результате получаем U_p силы притяжения в точке Р₀, которые отстоят от а на расстояние тогда записываем

W-U=T

Величину - смешенная аномалия силы тяжести

- условие III краевой задачи. Именно из её решения до XXI века находили возмущающий потенциал T=f( ,B,L,H), а по формуле Брумса вычисляли высоту геоида над эллипсоидом.

При выводе формулы возмущающего потенциала требовалось, что бы эта функция во внешнем пространстве удовлетворяла следующему условию:

Это выражение называется выражением Лапласа, а функция удовлетворяющая данному уравнению называется гармоническим.

Проблемой решения краевых задач занимается раздел математики. Основоположником определения фигуры Земли по возмущающему потенциалу является Стокс. Продолжил решение советский учёный М.С. Молоденский.