7.8 Расчет переходных процессов методом интеграла Дюамеля.

Пусть входное воздействие задано функцией при

Полученное многоступенчатое воздействие математически выражается суммой

На основании принципа суперпозиции можно утверждать, что общая реакция цепи на ступенчатое воздействие равно сумма выходных сигналов, обусловленных действием каждого ступенчатого сигнала.

При уменьшении интервалов до бесконечно малых интервалов ступенчатая кривая воздействия перейдет в заданную кривую , сумма заменится на интеграл,

на

Окончательно получим точное выражение для отклика , называемое интегралом Дюамеля или суперпозиционным интегралом.

Где - реакция цепи на начальный скачок при

переходная характеристика

производная от воздействия по времени в точке

переходная характеристика, в которой вместо подставляют .

ЗАМЕЧАНИЕ. Если в полученном выражении под интегралом функция зависит только от

то ее можно вынести, т.к. при интегрировании приращение происходит по

Общие правила расчета переходных процессов методом интеграла Дюамеля.

1. Для заданного отрезка выбирают наиболее простой вид формулы интеграла Дюамеля.

2. Любым методом определяют переходную функцию и по ней при необходимости - , или

3. Находим при необходимости , или

4. Полученные функции представляют в выбранную формулу интеграла Дюамеля.

5. Проводят графическое построение полученного отклика

ВОПРОСЫ

1. Какой режим работы называется установившимся.

2. Какой режим работы называется переходным процессов (пример)

3. Законы коммутации (пример)

4. Какие цепи называются цепями “n” - порядка

5. Как связаны между собой на и элементах цепи?

6. Как рассчитать время установления ? (пример)

7. Какой процесс называется апериодичным, колебательным? (пример)

8. В чем сущность операторного метода расчета переходных процессов в цепи?

9. Единичная функция, каково ее операторное значение?

10. Закон Ома в операторной форме.

11. Законы Кирхгофа в операторной форме.

12. Связь комплексной передаточной функции и операторной.

13. Устойчивые и неустойчивые цепи (пример).

14. Критерий Гурвича (пример).

15. Единичная импульсная функция и ее свойства.

16. Интеграл Дюамеля.

Анализ частотного состава колебаний.

Если несколько источников напряжения с разными частотами

Амплитудами и начальными фазами присоединить последовательно к -цепи, то напряжение и ток в этой цепи окажутся несинусоидальными

Можно считать, что на цепь воздействует только одна несинусоидальная

периодическая ЭДС , которую можно представить в виде ряда

постоянная составляющая или нулевая гармоника

первая или основная гармоника

Остальные члены называются высшими гармониками

Где основная частота

период несинусоидального периодического колебания

амплитуды гармоник

начальные фазы гармоник.

Все сигналы, отличные от гармоничных, называются негармоническими.

На практике, чтобы получить напряжение негармонической формы, используют электронное устройство с операционным усилителем, называемое сумматором напряжений.

на выходе сумматора пропорционально сумме мгновенных напряжений, подведенных к входам сумматора.

Если , то уравнение упрощается

Ряд Фурье.

Всякая периодическая функция, удовлетворяющая условиям Дирихле, т.е. ограниченная, имеющая за полный период конечное число разрывов первого рода и конечное число максимумов и минимумов, может быть разложена в виде тригонометрического ряда Фурье.

По ортонормированной тригонометрической системе ряд Фурье определяется для каждой периодической функциис периодом , интегрируемой на отрезке Это ряд вида

С коэффициентами Фурье, определенными по формуле Эйлере-Фурье.

При определении углов и надо учитывать и ,т.е. в какой четверти этот угол находится, и обратный переход

В точках разрыва ряд Фурье сходится

1. Если функция четная, то она симметричная относительно оси ординат.

В этом случае отсутствуют синусоидальные составляющие.

и

2. Если функция нечетная, то она симметрична относительно начала координат.

В этом случае отсутсвует постоянная составляющая и косинусоидальная составляющие и

3. Если функция симметричная относительно оси абсцисс при совмещении двух полупериодов имеет «зеркальное отражение полуволн

В этом случае отсутствуют постоянная составляющая и четные синусоидальные и косинусоидальные составляющие

4. Если функция симметрична относительно оси ординат и оси абсцисс при совмещении полупериодов

то отсутствуют постоянная составляющая и синусоидальные составляющие, а также четные косинусоидальные составляющие

5. Если функция симметрична относительно начала координат и оси абсцисс при совмещении полупериодов, то отсутствует постоянная составляющая и все косинусоидальные составляющие, а такде синусоидальные составляющие

8.1. Интеграл Фурье

Если - непериодическая функция, при которой ,

то двухсторонним преобразованием Фурье (спектральной плотностью) называется интеграл вида

Где - спектральная плотность

амплитудно-частотная характеристика

фазочастотная характеристик

время

Обратным преобразованием Фурье называется выражение

Заметим, что преобразование Фурье является частным случаем преобразования Лапласа и получается из него при , т.е.

Рассмотрим свойства преобразования Фурье.

ТЕОРЕМА ЗАПАЗДЫВАНИЯ

Если функция соответствует спектральной плотности , то функция соответствует спектральной плотности

ТЕОРЕМА МАСШТАБИРОВАНИЯ

Если функция соответствует спектральной плотности , то

Функция соответствует спектральной плотности

Где - произвольная константа.

Заметим, что дельта-функция может быть представлена интегралом Фурье

Или

ФИЛЬТРУЮЩЕЕ СВОЙСТВО ДЕЛЬТА-ФУНКЦИИ

Пусть - любая непрерывная функция

Где - постоянная произвольная величина