6.7 Операторный метод анализа.

В методе комплексных амплитуд мы имеем дело с комбинациями вида , показатель степени чисто мнимая величина. Дальнейшим обобщением этого принципа является рассмотрение также экспотенциальных колебаний вида , где Р-комплексное число , называемое комплексной частотой.

6.8 Преобразование Лапласа, его свойства и основные теоремы операционного исчисления.

Операционный метод анализа позволяет сводить линейные дифференциальные уравнения к более простым алгебраическим уравнениям.

Применение операционного исчисления началось с работ Хевисайда(1892г.), который предложил формальные правила с оператором дифференцирования

Математическое обоснование дало преобразований Лапласа.

Односторонним преобразованием Лапласа (Интегралом Лапласа) называется интеграл вида:

Где - изображения

- символ изображения по Лапласу

- комплексная переменная

- время

- называется функцией оригинала; она должна быть такой, чтобы существовал интеграл

Сокращенно интеграл Лапласа записывается

≑

≑ - знак соответствия, который осуществляет одностороннее прямое преобразование

функции действительного переменного , 0 ≤ ≤ ∞ в функцию

комплексного переменного .

Теорема линейности.

Преобразование Лапласса – линейное интегральное преобразование

₁f₁(t) + ₂f₂(t) +… ≑ ₁L₁(p) + ₂L₂(p) + …, где f₁(t) = L₁(p); f₂(t) = L₂(p); … ;

_1; _2; ₃ -произвольные постоянные.

Это свойство позволяет находить изображения таких сигналов, которые могут быть представлены суммами относительно простых слагаемых с уже известным изображением.

Теорема дифференцирования

≑

действительно

≑

обозначим u=e^-pt , v=f^(t) , тогда

;

используя интегрирование по частям получаем:

Если , то дифференцирование оригинала сводится к умножению изображения на Р.

Теорема интегрирования

≑

Действительно

≑

обозначим ; , тогда

используя интегрирование по частям

Интегрирование оригинала сводится к делению изображения на Р. Заметим, что при двухкратном интегрирование будем иметь

Теорема запаздывания

Если

≑ то ≑

Таким образом, при сдвиге оригинала на изображение умножается на

Теорема смещения

Если ≑ то ≑

При умножении на в изображении заменяется на. При этом следует иметь в виду, что число может быть как действительным так и комплексным.

Теорема предельных соотношений

Если ≑ при когда то

1)

2)

Эта теорема позволяет определить значение функций по изображению.

Теорема подобия

Если ≑ , то ≑

Теорема свертывания

Если имеем ≑ ≑

≑

Умножение в области комплексного переменного соответствует свертыванию в области действительного переменного.

Интеграл Дюамеля

По теореме дифференцирования можно записать

≑

Удобнее пользоваться формулой интеграла Дюамеля

Теорема разложения

Если изображение искомого напряжения или тока имеет вид рациональной дроби

То интеграл определяется выражением ≑

Где

(a)

(б)

(в)

(г)

а)если - действительные различные корни уравнения

если

б)если один из корней , то

в)если многочлен имеет n-пар комплексно сопряженных корней и .

г)если многочлен имеет среди комплексных корней один нулевой корень , то есть

- изображения колебаний

Соотношение между изображением тока в элементе емкости и оригиналом

Будет следующим (по теореме дифференцирования)

≑

≑

Следовательно, изображение тока и напряжения на емкости связаны соотношением

Откуда

рис(2.1.4)

Аналогично находим соотношение между изображением тока в элементе индуктивности

и оригиналом

где

≑ , ≑

Следовательно, изображения напряжения на индуктивности связаны соотношением

рис(2.1.5)

Заметим, что определяют начальные условия в соответствующих реактивных элементах

Операторные сопротивления

Пусть начальные условия нулевые . Тогда для емкостного элемента операторное напряжение будет равно

где операторное сопротивление емкости

Определим операторное напряжение для индуктивного элемента.

где операторное сопротивление индуктивности.

Операторная проводимость емкости.

Операторная проводимость индуктивности.

Для резистивного элемента

или

где ≑, ≑

Операторное сопротивление резистора

Операторная проводимость резистора

Методы анализа переходных процессов в линейных электрических

цепях операторным методом.

1) Из расчета цепи до коммутации найти токи в индуктивностях и напряжения на емкостях

2)По виду топологии исследуемой цепи , получившейся после коммутации составить эквивалентную операторную схему.

3)Выбрать метод расчета и найти изображение искомых величин.

4)По изображению искомых величин найти оригинал, т.е. искомую функцию времени.

Пример. Найти ток в цепи операторным методом.

рис(2.1.6)

Решение:

1)Очевидно, что до коммутации

2)Составим эквивалентную схему после коммутации

рис(2.1.7)

3)Воспользуемся вторым законом Кирхгофа в оперативной форме, учитывая, что

≑ (изображение по Лаплассу)

Операторные падения напряжений на элементах

Следовательно

или

Отсюда найдем ток

Где

Находим оригинал тока и затем его предельное значение

Где предельное значение, к которому стремится ток по мере неограни-ченного возрастания .

рис(2.1.8)

Переходный процесс теоретически длится бесконечно долго. Практически же можно предполагать, что он заканчивается спустя , действительно , при получаем:

То есть, через время ток в данной цепи, включенной на постоянное значение ЭДС, достигает 95 % своего установившегося значения.

Законы Ома и Кирхгофа для изображений колебаний.

Пусть дана цепь во временной области

рис(2.1.9)

Переведем эту цепь в эквивалентную операторную цепь

рис(2.2.0)

Обобщенный закон Ома в операторной форме с учетом нулевых начальных условий

Первый закон Кирхгофа в операторной форме

Второй закон Кирхгофа в операторной форме

Начальное значение тока, прошедшего через катушку индуктивности и напряжения на конденсаторе вветви, операторное сопротивление ветви.

Операторная передаточная функция и ее связь с комплексной передаточной функцией.

Операторной передаточной функцией называется отношение операторной реакции электрической цепи к операторному воздействию при нулевых начальных условиях.

рис(2.2.1)

Запишем в так называемом нуль-постоянном представлении

- корни знаменателя и называются полюсами передаточной функции

- корни числителя и называются нулями передаточной функции

Передаточная функция является полной математической моделью электрической цепи.

Замечание: Комплексная передаточная функция формально может рассматриваться как частный случай операторной передаточной функции, когда комплексная частота принимает чисто мнимые значения

При этом

Устойчивые и неустойчивые электрические цепи

Если все полюсы передаточной функции цепи располагаются в левой полуплоскости комплексной переменной Р , а их полюсы на мнимой оси всегда простые (не кратн.) , то цепь называется устойчивой.

Если хотя бы один полюс расположен в правой полуплоскости, то цепь – неустойчивая.

при

Состояние электрической цепи, при котором все токи и напряжения постоянны или равны 0, называется статическим равновесием.

Пассивные -цепи всегда устойчивы , т.к. способны только поглощать энергию источника.

Цепи без потерь, содержание только или элементы, находящиеся на границе устойчивости, поскольку имеют полюсы на оси

Для проверки на устойчивость достаточно приравнять нулю знаменатель то есть записать выражение

Полученный многочлен называется характеристическим. После чего следует проверить расположение корней этого уравнения на комплексной плоскости. Корни этого уравнения являются нулями полинома , т.е. будут полюсами функции

Полиномы Гурвича.

Правила, при которых без решения можно установить устойчива цепь или нет, называются критериями устойчивости.

Критерий Гурвича

Пусть дан характеристический многочлен

Для того, чтобы корни этого уравнения лежали в левой полуплоскости, т.е. имели бы отрицательные действительные части, необходимо и достаточно чтобы коэффициенты и все его главные миноры принимали положительные значения

-определитель Гурвича – имеет следующую структуру. На главной диагонали выписывают коэффициенты уравнения

В каждом из столбцов под диагональю выписывают коэффициенты с возрастающим индексом, а под диагональю с убывающим индексом, и , если или

В случае характеристического многочлена второго порядка

Условием устойчивости является

Или и

Критерием Гурвича удобно пользоваться для проверки цепи на устойчивость с заданными параметрами.

Обобщенная передаточная функция

Одним из самых наиболее распространенных методов анализа линейных электрических цепей является метод сведения к обобщенной передаточной функции в виде отношения двух полиномов

-постоянные коэффициенты , а - комплексная частота.

- модуль обобщенной передаточной функции

- фаза обобщенной передаточной функции

Обобщенная передаточная функция может быть запрограммирована для достаточно больших m и n , что позволяет рассчитать на ЭВМ модуль и фазу передаточной функции цепи различного порядка для заданной полосы частоты от до

Временной метод анализа. Импульсные воздействия на электрические цепи.

Электрическим импульсом называется отклонение напряжения или тока от первоначального значения в течение конечного отрезка времени.

рис(2.2.2)

Участок , на котором происходит отклонение напряжения от заданного значения, называется фронтом импульса.

– вершина импульса

– напряжение возвращается к исходному значению, называется срезом

импульса

– основание импульса

- амплитуда импульса

- длительность импульса

- длительность фронта

- длительность среза.

Последовательность импульсов, мгновенные значения которых повторяются через равные промежутки времени , называются периодической последовательностью импульсов.

– называется периодом повторения импульсов

частота повторения (следов) импульсов

скважность импульсов.

Видеоимпульс – впервые такие колебания стали применять в телевидении.

Единичным ступенчатым сигналом называется сигнал напряжения или тока, который при численно равен нулю, а при равен 1.

Если , то произведение носит название ЭДС включения.

Где Е – высота ступени.

ЗАМЕЧАНИЕ.

С помощью сложения двух ступенчатых функций можно получить прямоугольный импульс длительностью . Для упрощения единичную функцию опустим

Единичная импульсная функция.

В физике находит отражение тот факт, что реально нельзя измерить значение физической величины в точке, а можно измерить лишь ее среднее значение в достаточно малых окрестностях данной точки. В теории обобщенных функций вводится так называемая дельта функция, или дельта функция Дирака.

Таким образом, дельта импульс равен нулю при всех отличных от нуля значениях аргумента и принимает в точке бесконечно большое значение.

- импульсом называется сигнал с бесконечно большой амплитудой и бесконечно малой длительностью и такой, что площадь его равна единице.

- импульс является четной функцией аргумента

Фильтрующее свойство импульса.

где - непрерывная функция

Дельта-импульс представляет собой производную от единичного ступенчатого сигнала.

Операторное изображение этих функций имеет вид

≑

Заметим, что -импульс здесь имеет размерность обратную времени (Т)

(например, ).

Импульсным воздействием напряжения называется обобщенная функция напряжения

Где - условно называют амплитудой -импульса.

Импульсным воздействием тока называется обобщенная функция тока

Где - условно называют амплитудой -импульса.

Отношение реакции электрической цепи на импульсное воздействие к амплитуде воздействия при нулевых начальных условиях называется импульсной характеристикой цепи.

Импульсная характеристика по напряжению будет равна

ЗАМЕЧАНИЕ № 1. Импульсная характеристика и порождающая ее дельта-функция есть результат идеализации – отображает приближенно реакцию системы на входной импульсный сигнал произвольной формы с единичной площадью при условии, что длительность этого сигнала ничтожно мала по сравнению с временем переходного процесса в цепи.

ЗАМЕЧАНИЕ № 2. Найдем изображение импульсной характеристики (по табл. преобр. Лапласа)

≑

Найдем передаточную операторную функцию цепи по напряжению

Следовательно, можно записать ≑

Таким образом, чтобы найти передаточную функцию цепи по известной импульсной характеристике надо обратиться к преобразованию Лапласа

По известной операторной функции передачи с помощью обратного преобразования Лапласа можно найти импульсную характеристику