2. Закон распределения Пуассона

Дискретная случайная величина имеет закон распределения Пуассона с параметром λ>0, если она принимает значения 0, 1, 2,…, m,… с вероятностями

.

Случайная величина может принимать бесконечное множество значений.

Закон Пуассона описывает число событий m, происходящих за одинаковые промежутки времени. При этом полагается, что события появляются независимо друг от друга. Число λ − среднее число событий, которые появляются в единицу времени, должно быть одинаковым для каждого интервала времени. Число событий, появившихся в течение одного интервала времени, не зависит от числа появлений в другие интервалы.

Распределение Пуассона имеют случайные величины: число вызовов на АТС; число клиентов на предприятии бытового обслуживания; число типографических ошибок в книге.

Пример 4._________________________________________________________

Месячное количество дождливых дней в определенном городе подчиняется закону Пуассона со средним значением, равным 6 дней. Найдем вероятность того, что в следующем месяце будет три дождливых дня.

Так как λ=6, m=3, то .

Если случайная величина распределена по закону Пуассона, то ее математическое ожидание и дисперсия совпадают и равны параметру λ:

Если в схеме Бернулли число испытаний n велико, а вероятность p появления события в каждом испытании очень мала, то формулу Пуассона используют для приближенного вычисления этой вероятности:

, где λ=np<10.

Пример 5._________________________________________________________

Завод отправил на базу 1000 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути равна 0,002. Найдем вероятность того, что в пути будет повреждено три изделия. Число n=1000 велико, вероятность p=0,002 мала; λ=np=2<10, поэтому применим формулу Пуассона:

.