Прямая, перпендикулярная к плоскости

На вопрос о том, как располагаются на комплексном чертеже проекции перпендикуляра к какой-либо плоскости, отвечает следующая теорема. Теорема 2. Если прямая перпендикулярна к плоскости в пространстве, то на комплексном чертеже горизонтальная проекция прямой перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали, а фронтальная проекция перпендикулярна к фронтальной проекции фронтали, принадлежащим этой плоскости. Пусть прямая (АК) перпендикулярна к плоскости общего положения (рис. 2.13). Проведем в плоскости произвольные горизонталь h и фронталь f. Так как перпендикуляр к плоскости образует прямые углы со всеми прямыми, принадлежащими плоскости, то (АК) h и (АК) f. Р ис. 2.13

На основании теоремы 1: 1) прямой угол АКh проецируется на плоскость П₁ без искажения, т. е. (А₂К₂) h, так как h П₁; 2) прямой угол АКf проецируется на плоскость П₂ без искажения, т. е. (А₂К₂) f₂, тах как f П2. Напомним, что все горизонтали, принадлежащие одной и той же плоскости, параллельны между собой, а все фронтали между собой. Поэтому для построения проекций перпендикуляра к плоскости можно воспользоваться любыми горизонталью и фронталью, принадлежащими плоскости.

На основании первой и второй теорем решаются следующие основные задачи. 1. Опустить перпендикуляр из точки А на плоскость (а b). Решение дано на чертеже (рис. 2.14). В плоскости (а b) построены горизонталь h(h₁,h₂) и фронталь f(f₁,f₂). Проекции искомого перпендикуляра n проведены через соответствующие проекции А₁ и А₂ заданной точки А так, что n₁ h₁ и n₂ f₂. Точка пересечения перпендикуляра n с плоскостью в этой задаче не определялась.

Линии наибольшего наклона

Прямые, принадлежащие плоскости и перпендикулярные горизонталям, фронталям или профильным прямым этой плоскости, называются линиями наибольшего наклона. На рис. 2.16, а прямая ВD h является линией наибольшего наклона плоскости к плоскости П₁. Из всех прямых, принадлежащих плоскости, она образует наибольший угол с плоскостью П₁ (если ВD f, то с П₂); если BD p, то с П₃). Поэтому угол на рис. 2.16, а является линейным углом двугранного угла, образуемого плоскостями и П₁. Р ис. 2.16

На рис. 2.16, б, в построены проекции линий наибольшего наклона плоскости (АВС) соответственно к плоскостям П₁ и П₂. Построение проекций основано на теореме 1. Величину угла можно определить, например, способом прямоугольного треугольника. Плоскость на чертеже можно задать проекциями одной из принадлежащих ей линий наибольшего наклона. Подумайте, почему одна линия наибольшего наклона однозначно определяет положение плоскости в пространстве?

Частные случаи

1. Прямая, перпендикулярная горизонтально проецирующей плоскости П (П₁) (рис. 2.17), является горизонталью и на комплексном чертеже:

Р ис. 2.17

1) h_{1 1}; h₂ (A₁,A₂); 2) К(К₁К₂) = h ; 3) | А₁К₁ | = | АК | - расстояние от точки А до плоскости .

2. Прямая, перпендикулярная фронтально проецирующей плоскости ( ₁) (рис. 2.18), является фронталью и на комплексном чертеже:

Р ис. 2.18

1) f₁ (A₁,A₂); f_{2 2}; 2) К(К₁,К₂) = f ; 3) | А₂К₂ | = | АК | - расстояние от точки А до плоскости .

3. Прямая, перпендикулярная горизонтальной или фронтальной плоскости уровня, является соответственно горизонтально или фронтально проецирующей прямой.