Численное дифференцирование

Это – попытка угадать значение производной для функции, заданной в виде таблицы. Но ведь производная определена только для непрерывных и дифференцируемых функций. Поэтому здесь вводят гипотезу, что табличная функция заменяет собою некоторый алгебраический полином. Вот его-то и дифференцируют. Значит, идея такова: надо найти интерполяционный (или даже аппроксимирующий) поли­ном, а потом его продифференцировать. В самом простом случае, когда функция задана таблицей всего из двух точек (х₀, y₀) и (x₁, y₁), ясно, что кроме прямой линии мы ничего через них однозначно провести не сможем. Тангенс угла наклона касательной будет (y₁ - y₀)/(x₁ -x₀). Это – простейшая из формул численного дифференцирования. Бдительность! Численное дифференцирование может давать резкие скачки в результатах даже при малых погрешностях в исходных сведениях. Это есть проявление некорректности такой математической задачи

Численное дифференцирование

Допустим, что в некоторой точке x у функции f(x) существует производная r-того порядка f^(r)(x), которую точно вычислить либо не удается, либо слишком сложно. В этом случае для приближенного нахождения производных функции используются формулы численного дифференцирования.

Задача численного дифференцирования состоит в приближенном вычислении производных функции f(x) по заданным в конечном числе точек значениям этой функции.

Один из универсальных способов построения формул численного дифференцирования состоит в том, что по значениям функции f(x) в некоторых узлах x₀ , x₁ , ... , x_N строят интерполяционный полином P_N(x) (обычно в форме Лагранжа) и приближенно полагают

f^(r)(x) P^(r)_N(x), 0 ≤ r ≤ N

В ряде случаев наряду с приближенным равенством удается (например, используя формулу Тейлора) получить точное равенство, содержащее остаточный член R (погрешность численного дифференцирования):

f^(r)(x) = P^(r)_N(x) + R, 0 ≤ r ≤ N

Такие формулы называются формулами численного дифференцирования с остаточными членами. Степень, с которой входит величина в остаточный член, называется порядком погрешности формулы численного дифференцирования. Формулы с отброшенными остаточными членами называются просто формулами численного дифференцирования.

Недостатки каскадной модели

КМ предусматривает последовательную организацию работ. При этом основной особенностью является разбиение всей разработки на этапы, причем переход с одного этапа на следующий происходит только после того, как будут полностью завершены все работы на предыдущем этапе. Каждый этап завершается выпуском полного комплекта документации, достаточной для того, чтобы разработку могла продолжить другая группа разработчиков.

Недостатки каскадной модели ограничивают ее применение при разработке ИС. Причем эти недостатки делают ее либо полностью неприемлемой, либо приводят к существенному увеличению сроков разработки и стоимости проекта.

Основные недостатки каскадной модели следующие:

1. существенная задержка получения результатов;

2. необходимость возврата на предыдущие этапы;

3. сложность распараллеливания работ по проекту;

4. информационная перенасыщенность каждого этапа;

5. сложность управления проектом;

6. высокий уровень риска и ненадежности инвестиций.

Задержка полученных результатов считается главным недостатком каскадной схемы. Этот недостаток проявляется в основном в том, что вследствие последовательного подхода к к разработке согласование результатов производится только после завершения очередного этапа.

Поэтому может оказаться, что разрабатываемая ИС не соответствует требованиям пользователей. Причем такие несоответствия могут возникать на любом этапе, т.к. искажения могут непреднамеренно вноситься и проектировщиками, и программистами в силу того, что они не всегда хорошо разбираются в тех предметных областях, для которых разрабатывается ИС.

Кроме того, используемые при разработке ИС модели автоматизируемого объекта могут в силу различных причин устареть за время разработки. Это относится и к функциональной модели, и к информационной модели, и к проектам интерфейса пользователя, и к пользовательской документации.

Необходимость возврата на предыдущие стадии является одним из проявлений предыдущего недостатка. Как правило, ошибки, допущенные на более ранних этапах, обнаруживаются только на последующих. Поэтому после проявления ошибки проект возвращается на предыдущий этап, перерабатывается и снова передается на следующую стадию. Как следствие, срыв графика работ и усложнение взаимоотношений между группами разработчиков, выполняющих отдельные этапы.

Самое неприятное – это то, что недоработки могут обнаружиться не на следующем этапе, а позднее (например, на стадии опытной эксплуатации могут проявиться ошибки в описании предметной области). Это означает, что часть проекта должна быть возвращена на начальный этап.

3. Сущность структурного подхода проектирования ис

Сущность структурного подхода к разработке ИС заключается в ее декомпозиции (разбиении) на автоматизируемые функции: система разбивается на функциональные подсистемы, которые в свою очередь делятся на подфункции, подразделяемые на задачи и так далее. Процесс разбиения продолжается вплоть до конкретных процедур. При этом автоматизируемая система сохраняет целостное представление, в котором все составляющие компоненты взаимоувязаны.

Все наиболее распространенные методологии структурного подхода базируются на ряде общих принципов. В качестве двух базовых принципов используются следующие:

• принцип "разделяй и властвуй" - принцип решения сложных проблем путем их разбиения на множество меньших независимых задач, легких для понимания и решения;

• принцип иерархического упорядочивания - принцип организации составных частей проблемы в иерархические древовидные структуры с добавлением новых деталей на каждом уровне.

Выделение двух базовых принципов не означает, что остальные принципы являются второстепенными, поскольку игнорирование любого из них может привести к непредсказуемым последствиям (в том числе и к провалу всего проекта). Основными из этих принципов являются следующие:

• принцип абстрагирования - заключается в выделении существенных аспектов системы и отвлечения от несущественных;

• принцип непротиворечивости - заключается в обоснованности и согласованности элементов;

принцип структурирования данных - заключается в том, что данные должны быть структурированы и иерархически организованы.

В структурном анализе используются в основном две группы средств, иллюстрирующих функции, выполняемые системой и отношения между данными. Каждой группе средств соответствуют определенные виды моделей (диаграмм), наиболее распространенными среди которых являются:

• SADT (Structured Analysis and Design Technique) модели и соответствующие функциональные диаграммы;

• DFD (Data Flow Diagrams) диаграммы потоков данных;

• ERD (Entity-Relationship Diagrams) диаграммы "сущность-связь".

На стадии проектирования ИС модели расширяются, уточняются и дополняются диаграммами, отражающими структуру программного обеспечения: архитектуру ПО, структурные схемы программ и диаграммы экранных форм.

Перечисленные модели в совокупности дают полное описание ИС независимо от того, является ли она существующей или вновь разрабатываемой. Состав диаграмм в каждом конкретном случае зависит от необходимой полноты описания системы.