В частном случае

Для того, чтобы =0 необходимо чтобы U_з=Y.

1. Все звенья системы статические, т.е. нет интегрирующих звеньев, не охваченных местной обратной связью.

При t (установившийся режим) р0

- статический коэффициент передачи звена;

1. Разомкнутая САУ.

В установившемся режиме при t и р0

k_y, k_oy, k_f – статические коэффициенты передачи регулятора, объекта по управлению и объекта по возмущению.

Пусть f=0, тогда

Отсюда можно найти U_з для разомкнутой системы:

U_з=0

Пусть величина возмущения изменится на величину f=f₂-f₁ – это вызовет отклонение выходной величины . Перейдем к относительному отклонению:

Недостатком разомкнутой системы является значительное влияние неуправляемых изменений возмущающего воздействия на выходной сигнал.

2. Замкнутая САУ

где:

- передаточная функция разомкнутой системы по управлению,

передаточная функция разомкнутой системы по возмущению.

Выражения для передаточных функций замкнутой системы по управлению:

возмущению:

и ошибке:

По управлению

Для установившегося режима (при р=0) :

Пусть k_д=1, тогда Y_уст всегда меньше Y_з и разность будет составлять статическую ошибку регулирования.

По возмущению:

Для оценки влияния f запишем:

Если возмущение изменяется на величину f, то

Отклонение в замкнутой САУ будет в (1+k_р) раз меньше, чем в разомкнутой САУ.

Эта формула позволяет рассчитать необходимый коэффициент передачи регулятора k_y для обеспечения заданной точности .

Чем больше k_y, тем меньше величина . Если k_y, то 0.

По ошибке:

В установившемся режиме (при р=0):

И здесь с увеличением k_y значение  уменьшается, но, мы не имеем возможности бесконечно увеличивать коэффициенты, так как имеются ограничения по устойчивости. В результате, при ограниченных коэффициентах передачи k_y в данной системе обязательно присутствует ошибка регулирования (0).

Если задана необходимая точность регулирования <=_з, то можно вычислить необходимый коэффициент передачи регулятора.

В статических системах есть однозначное соответствие управляющего воздействия на объект от величины ошибки .

Статические системы применяют, когда допускается достаточно большая ошибка и отклонение (>1%).

В высокоточных системах применяют регуляторы с интегрирующим звеном.

2. Астатическая система с И-регулятором.

Подставим в ПФ замкнутой системы по управлению:

В установившемся режиме (при р=0):

Подставим в ПФ замкнутой системы по возмущению:

Отклонение выходного сигнала от возмущения:

В установившемся режиме Y_уст=0.

Выходной сигнал не зависит от возмущающего воздействия в установившемся режиме. Наличие интеграла в законе регулирования ведет к накоплению сигнала на выходе регулятора до тех пор, пока ошибка  не станет равной 0. При этом сигнал на выходе регулятора сохраняется на достигнутом уровне. В результате одному и тому же значению ошибки  могут соответствовать различные значения управляющего воздействия на объект Uупр (в зависимости от времени существования ), т.е. между  и Uупр отсутствует однозначное соответствие.

Такие регуляторы и системы в целом называются астатическими. Признак – наличие интегратора, не охваченного местной обратной связью. В знаменателе ПФ разомкнутой САУ есть множитель р.

Порядок этого множителя определяет порядок астатизма системы:

v=0 – статическая САУ;

v=1 – астатизм 1-го порядка.

……………………………

k_и нельзя назвать коэффициентом передачи, так как коэффициент передачи определяется в установившемся режиме, а у интегратора его нет.

k_и - называют коэффициент добротности (по скорости) интегратора и представляет собой отношение установившейся скорости изменения выходного сигнала к величине входного сигнала.

Рассмотрим поведение астатической САУ при линейно возрастающем сигнале задания, т.е. если

Видим, что для линейно возрастающего сигнала будет присутствовать ошибка воспроизведения:

_уст0 при k_и, но реально k_и ограничено из условия устойчивости и поэтому обязательно будет существовать ошибка слежения (ошибка по скорости).

Можно ввести второй интегратор, тогда не будет ни статической ошибки, ни ошибки по скорости – будет ошибка по ускорению. Но введение интеграторов не является безобидной операцией. Они повышают колебательность переходных процессов, приближают границы устойчивости и могут привести к структурной неустойчивости.