Федеральное агентство образования и науки РФ

Пермский государственный технический университет

Кафедра Механики композиционных материалов и конструкций

Расчетно-графическая работа № 3 «Прогнозирование макроскопических модулей упругости квазиизотропных композитов в корреляционном приближении»

Выполнила: студент гр. ПКМ-04-1

Гордеева А.В.

Проверил: профессор

Соколкин Ю.В.

Пермь, 2008

Теоретическая часть

Для микронеоднородной среды закон Гука:

(1)

где _ij –структурные напряжения, действительные напряжения которых возникают в волокне и матрице;

C_ij(r) -микроскопический модуль упругости

Закон Гука для однородной анизотропной среды

С^* _ij -эффективный (макроскопический) модуль упругости

Введем оператор объемного осреднения и вычислим эффективный модуль упругости для периодической структуры по модели Фойгта.

Применим оператор объемного осреднения для соотношения (1):

Сделаем следующие обозначения:

(2)

Тогда закон Гука будет выглядеть следующим образом:

(3)

где (4)

Формула (4) является формулой для расчета эффективных свойств композита по модели Фойгта (правило смеси). Она дает верхнюю оценку свойств КМ. В нее входят свойства матрицы, волокна и объемное содержание.

Запишем обратное соотношение Гука:

(5),

где -коэффициент податливости

Условие ортогональности:

(6)

Применим оператор объёмного осреднения к формуле (5)

=

;

Введем объёмное соотношение (2),тогда

(7),

где (8)

Формула (8) является формулой для расчёта эффективных свойств КМ по модели Рейсса (правило смеси для коэффициентов податливости). Она даёт нижнюю оценку свойств.

Предположим, что структурные деформации определяются следующим соотношением

(9),

где

Обобщённый закон Гука для микронеоднородной среды

(10)

Осредним соотношение (10)

и

,тогда

Подставим соотношение (9) и получим

(11),

где (12),

где (13) -поправка к среднему модулю упругости, где

-функционал, который связан с функционалом следующим соотношением

(14)

подставим (13) в (14), тогда

(15)

Справедлива следующая аппроксимация функционала

(16)

-изотропный тензор 4-го ранга, зависящий от средних модулей упругости и определяющий соотношением

(17),

где A, B выражаются через коэффициенты следующими соотношениями

(18)

Выведем формулу для поправки

воспользовавшись соотношением (16), сделав замену индексов , и формулой для определения изотропного тензора получим

(19),

где - корреляционные моменты

Вычислим корреляционные моменты

Эффективные модули упругости - изотропный тензор 4-го ранга вычисляется по формуле

(20)

(21)

Модуль объёмного сжатия определяется соотношением

(22),

где модули упругости определяются из соотношения (12) через поправку.