Третье и четвертое уравнения Максвелла
Третье уравнение Максвелла является обобщением теоремы Гаусса для электростатического поля на случай любого нестационарного электрического поля:
,
.
Четвертое уравнение основано на предположении о том, что теорема Гаусса справедлива для произвольного магнитного поля:
.
ЛЕКЦИЯ 18
Полная система уравнений Максвелла электромагнитного
поля
Основу
теории Максвелла составляют четыре
уравнения, которые в электродинамике
играют такую же роль, как законы Ньютона
в механике. Система этих уравнений
описывает электромагнитное поле и может
быть записана для векторов
и
;
и
,
и
;
и
.
Для векторов
и
уравнения Максвелла имеют вид:
;
;
;
.
Для
векторов
и
:
(8)
;
;
;
.
Если
электрическое и магнитное поля
стационарны, т.е.
и
,
то из уравнений Максвелла следует, что
эти поля существуют независимо друг от
друга:
;
- это уравнения электростатики;
;
- уравнения магнитостатики.
Систему уравнений Максвелла (8.) необходимо дополнить еще материальными уравнениями, которые характеризуют электрические и магнитные свойства среды.
Если среда изотопная, несегнетоэлектрическая и неферромагнитная, и макротоки подчиняются закону Ома, то эти уравнения имеют вид:
;
;
(9)
На границе раздела сред должны выполняться граничные условия для векторов, характеризующих электромагнитное поле:
;
,
;
, ( 10)
где
– поверхностная плотность зарядов;
– единичный вектор нормали к поверхности
раздела сред, проведенный из среды 2 в
среду 1;
-
единичный вектор, касательный к
поверхности раздела сред,
-
единичный вектор, касательный к
поверхности раздела сред и перпендикулярный
к
;
– вектор линейной плотности поверхностного
тока проводимости, он направлен вдоль
поверхности по направлению тока в ней
и численно равен
,
где
ток проводимости через малый участок
dS
сечения поверхности, проведенного
перпендикулярно к направлению
поверхностного тока.
Главный
смысл уравнений ( 8) заключается в том,
что они содержат уравнения движения
электромагнитного поля. Это означает,
что в каждом случае поля
и
могут быть найдены путем решения
уравнений (8).
Каждое решение выделяется с помощью начальных и граничных условий (10). Начальные условия определяют поля в некоторый фиксированный момент времени, который обычно принимается за нулевой. Задание полей в один из моментов времени достаточно для определения постоянных интегрирования уравнений (8), по времени, т.к. в (8) входят только первые производные по времени. Граничные условия выражают свойства, связанные с наличием поверхностей раздела, т.е. таких поверхностей, по разные стороны которых свойства системы различны, а также с ограничениями области существования поля какими-либо поверхностями. Граничные условия задают поля в любой момент времени на поверхностях такого рода. Если область существования поля очень велика, то условия на удаленных внешних границах трансформируются в задание полей в бесконечно удаленных точках, т.е. на бесконечности.
Поскольку электромагнитные взаимодействия осуществляются через электромагнитные поля, то тем самым оказывается, что электрический заряд является константой связи электрически заряженных частиц с электромагнитным полем. Поэтому электромагнитные поля возникают вокруг зарядов и токов, от которых и распространяются в окружающее пространство; электромагнитные поля действуют на заряды и токи.
Состояние электромагнитного поля полностью характеризуется двумя векторными функциями координат и времени. Эти векторные функции и называются электрическим и магнитным полем. Множество значений, которые независимые компоненты векторов и (четыре из шести) принимают во всех точках пространства в данный момент времени, задают состояние электромагнитного поля в этот момент.
Электромагнитное поле отличается от любой системы частиц тем, что оно является физической системой с бесконечно большим числом степеней свободы ( в области существования поля значения независимых компонент и составляют бесчисленное множество величин, т.к. любая область пространства содержит бесконечно большое число точек).
Электромагнитные поля подчинятся принципу суперпозиции: при одновременном действии нескольких источников электромагнитного поля ( имеется несколько заряженных электричеством тел в свободном, т.е. не содержащем вещества, пространстве) образуется поле, равное сумме полей, создаваемых каждым источником:
;
.
Уравнения
Максвелла инвариантны относительно
преобразований Лоренца. Электрические
заряды также не зависят от выбора
инерциальной системы отсчета. Формула
преобразований Лоренца для векторов
и
электромагнитного поля при переходе
от неподвижной инерциальной системы
отсчета
к системе
,
движущейся относительно К прямолинейно
и равномерно со скоростью
вдоль положительного направления ОХ,
имеют вид:
;
;
;
;
;
;
с учетом (9) получаем для векторов и :
;
;
;
;
;
.
Здесь
- скорость света в вакууме. В среде с
и
.
Из
преобразований Лоренца видно, что одно
и то же электромагнитное поле по-разному
проявляется в инерциальных системах
отсчета, движущихся друг относительно
друга. Например, если в системе отсчета
есть только электрическое поле,
(
- орт координатной оси) и
,
то в системе отсчета
будет наблюдаться и электрическое и
магнитное поле, векторы
и
взаимно перпендикулярны:
;
;
;
;
;
.
Если
же в
есть магнитное поле, то в
также будут наблюдаться оба поля, у
которых
:
;
;
;
;
;
.
ЛЕКЦИЯ 19.
Уравнения Максвелла – Лоренца
Не все уравнения Максвелла есть уравнения движения поля. Действительно, только из четырех уравнений (8) содержат производные по времени, т.е. определяют, как поле изменяется во времени. В третьем и четвертом уравнениях таких производных нет, т.е. эти уравнения являются только условиями, накладываемыми на и . Эти условия связывают компоненты полей при любых изменениях их во времени. А так как этих условиях два, то из шести компонент полей и только четыре независимы.
Поля и проявляются в действии на электрические заряды. Действие их на точечный заряд определяется силой Лоренца:
,
(11)
где
q
– заряд частицы,
– скорость ее движения.
Выражение для силы Лоренца является фундаментальным законом физики
электромагнитных явлений. Он определяет действие электромагнитного поля на заряженные частицы.
Уравнения Максвелла (8.) совместно с уравнениями движения для заряженных частиц под действием силы Лоренца (11) составляют фундаментальную систему уравнений Максвелла-Лоренца. Эта система уравнений в принципе достаточна для описания всех электромагнитных явлений, в которых не проявляются квантовые закономерности (т.е. в классической электродинамике).
Для того, чтобы система уравнений Максвелла-Лоренца имела единственное решение, т.е. давала однозначное предсказание хода рассматриваемого электромагнитного процесса, необходимо задание:
-
начального состояния частиц и полей
(т.е. координат и скоростей частиц, а
также полей
и
при
);
- граничных условий для полей и .
Конкретный вид начальных и граничных условий зависит от свойств уравнений Максвелла. Вот эти свойства:
Уравнения Максвелла линейны. Они содержат только первые производные полей по времени и пространственным координатам и первые степени плотности заряда и тока. Свойство линейности прямо связано с принципом суперпозиции.
Уравнения Максвелла содержат закон сохранения электрического заряда. Действительно, продифференцируем третье уравнение (8.) по времени, будем рассматривать процесс в вакууме (
),
имеем:
,
или (12)
.
Теперь возьмем дивергенцию от обеих частей второго уравнения (8.)
здесь
Известно, что дивергенция от ротора равна нулю:
тогда
Домножим
это выражение на
,
получаем:
,
или, учитывая (12.) имеем:
- это
и есть закон сохранения заряда. Если в
него подставить значение
из уравнения непрерывности (
),
то получим тождество:
.
3) Из уравнений Максвелла следует, что каждое электромагнитное поле должно иметь скалярный и векторный потенциал.