Лекция 4
4. Законы сохранения
4.1.Сохраняющиеся величины
Для замкнутых систем существуют такие функции координат и скоростей образующих систему частиц, которые сохраняют при движении постоянные значения. Эти функции называются интегралами движения.
Для системы из
частиц, между которыми нет жестких
связей, можно образовать
интегралов движения.
Однако интерес представляют только те из них, которые обладают свойством аддитивности. Это свойство заключается в том, что значение интегралов движения для системы, состоящей из частей, взаимодействием которых можно пренебречь, равно сумме значений для каждой из частей в отдельности.
Аддитивными интегралами движения являются энергия, импульс и момент импульса.
4.2.Кинетическая энергия. Работа. Мощность.
Энергия – скалярная величина
является количественной мерой различных форм движения материи и соответствующих им взаимодействий. Движение – неотъемлемое свойство материи. Поэтому любое тело, любая система тел и полей обладают энергией.
характеризует возможные изменения движения системы. Эти изменения происходят вследствие взаимодействия между частями системы, а также между системой и внешней средой.
Для различных форм движения и соответствующих им взаимодействий в физике вводят различные виды энергии – механическую, внутреннюю, электрическую и т.д. В механике различают два вида механической энергии: кинетическую и потенциальную.
Кинетической энергией механической системы называется энергия механического движения этой системы.
Изменение механического движения системы происходит только под действием приложенной к ней силы. Поэтому для отыскания вида функции кинетической энергии воспользуемся вторым законом Ньютона.
Рассмотрим
простейшую
систему, состоящую из одной частицы
(материальной точки). Уравнение движения
частицы
умножим на
перемещение
получаем
.
(4.1)
Здесь
-
приращение
скорости частицы
за
время
.
Левую часть выражения (4.1) приведем к виду:
(4.2)
Тогда имеем:
Если система
замкнута,
то
,
и
,
а сама величина остается постоянной.
(4.3)
Эта величина и называется кинетической энергией.
В случае изолированной частицы кинетическая энергия сохраняется и является интегралом движения.
Умножив на массу
частицы
числитель
и знаменатель выражения (4.3) и
воспользовавшись определением импульса,
получаем:
Кинетическая
энергия
механической
системы,
состоящей из
частиц,
равна сумме кинетических энергий
отдельных частиц:
.
Если на частицу
действует сила
,
кинетическая
энергия не остается постоянной.
Согласно (4.2),
приращение
кинетической энергии частицы за время
в
этом случае равно
скалярному произведению
-
перемещение
частицы за время
).
Величина
называется
работой,
совершаемой силой
на
пути
,
где
-
модуль
перемещения
.
Проинтегрировав выражение (4.2) вдоль траектории от точки 1 до точки 2, получаем:
.
Величина
(4.4)
- работа силы
на
пути
.
Таким образом, работа результирующей всех сил, действующих на частицу, идет на приращение кинетической энергии этой частицы:
.
(4.5)
Ф
ормула
(4.3) для кинетической энергии частицы
справедлива как в инерциальной, так и
в неинерциальной системе отсчета.
При переходе из одной системы отсчета
в другую, движущуюся относительно первой
с некоторой скоростью
,
скорость частицы меняется, следовательно,
меняется и кинетическая энергия.
Рассмотрим две системы отсчета:
и
нерциальную
систему отсчета
,
движущуюся относительно
поступательно
со скоростью
.
Скорость
может
быть как постоянной (тогда система
инерциальная), так и зависящей от времени
(в этом случае система
неинерциальная).
Из рисунка 4.1
видно, что радиус-векторы
-той
материальной точки в системах отсчета
и
связаны
соотношением:
,
где
-
радиус-вектор
в системе
точки
(начала
отсчета координат в системе
).
Продифференцировав это выражение по
времени, получаем для
скоростей:
.
Возведем это
равенство в квадрат:
.
Подставим значение
в формулу кинетической энергии
механической системы, получаем
кинетическую
энергию относительно системы
:
,или
.
Здесь - масса всей системы,
- импульс
механической системы
в
,
-
кинетическая
энергия системы
в
.
Очевидно,
,
где
- скорость
центра масс системы
в
.
Поэтому, если в качестве взять систему центра масс механической системы, то
и
.
Это теорема Кёнига: кинетическая энергия механической системы равна сумме кинетической энергии той же системы в ее движении относительно центра масс и кинетической энергии, которую имела бы рассматриваемая система, двигаясь поступательно со скоростью центра масс.
Из теоремы Кёнига следует, что кинетическая энергия твердого тела равна сумме его кинетической энергии в поступательном движении со скоростью центра масс тела и кинетической энергии вращения этого тела вокруг центра масс
Выражение (4.4) можно
представить в виде:
где
- угол между
направлениями силы и перемещения.
если - острый (
),
работа положительна;
если - тупой (
),
работа отрицательна;При
работа равна нулю.
В
ыражению
(4.4) можно придать наглядный геометрический
смысл.
На рис.4.2 представлен
график
проекции силы на направление перемещения
как функции
положения частицы на траектории.
Из рисунка видно, что
элементарная работа
численно
равна площади заштрихованной полоски,
работа
на
пути 1-2
численно равна площади
фигуры, ограниченной кривой
,
вертикальными прямыми 1 и 2 и осью S.
Отметим следующее важное обстоятельство: формула (4.4) справедлива не только для частицы, но и вообще для любого тела (или системы тел). Надо только иметь в виду, что под dr (или ds) следует понимать перемещение точки приложения силы F. Игнорирование этого обстоятельства зачастую приводит к ошибочным результатам.
И
з
рисунка видно, что элементарная
работа численно равна площади
заштрихованной полоски, а работа А
на пути
от точки 1
до
точки 2
—
площади фигуры, ограниченной кривой,
ординатами 1
и 2
и осью
s.
При этом площадь фигуры
над осью s берется со знаком плюс (она соответствует положительной работе),
а площадь фигуры под осью s —со знаком минус (она соответствует отрицательной работе).
Пусть на тело
действует одновременно несколько сил
.
Из дистрибутивности
скалярного произведения векторов
вытекает, что работа
,
совершаемая результирующей силой на
пути
,
может быть представлена в виде:
- работа результирующей нескольких сил равна алгебраической сумме работ, совершаемых каждой силой в отдельности.
Очевидно, элементарное
перемещение
,
поэтому выражение
для элементарной
работы (4.4)
принимает вид:
Тогда работа,
совершаемая за промежуток времени от
до
,
будет равна
Единицей работы в СИ является джоуль (Дж). Джоуль — это работа силы в 1 Н на пути 1 м (при условии, что направление силы совпадает по направлению с перемещением), или 1 Дж =1 Н м.
Для характеристики скорости, с которой совершается работа, вводят величину, называемую мощностью.
Мощность, по определению, — это работа, совершаемая силой за единицу времени.
Если за промежуток
времени dt сила
совершает
работу
,
то мощность, развиваемая этой силой в
данный момент времени, есть
Учитывая, что
,
получаем
Таким образом, мощность, развиваемая силой F, равна скалярному произведению вектора силы на вектор скорости, с которой движется точка приложения данной силы. Как и работа, мощность — величина алгебраическая.
Зная мощность силы F, можно найти и работу, которую совершает эта сила за промежуток времени t. В самом деле, представив подынтегральное выражение в формуле (4.2) в виде
,
получим
Единицей мощности в СИ является ватт (Вт), равный джоулю в секунду (Дж/с).
Когда говорят о работе (или мощности), то необходимо в каждом конкретном случае четко указывать или представлять себе, работа какой именно силы (или сил) имеется в виду. В противном случае, как правило, неизбежны недоразумения.
Работа и мощность силы зависят от выбора системы отсчета .