Метод узловых напряжений
Теперь рассмотрим применение метода узловых напряжений к анализу сложных цепей. Рассмотрим опять схему на рис.3.1а.
Суть метода состоит в том, что составляется система уравнений относительно узловых напряжений, каждое из которых есть разность потенциалов между данным узлом и базисным, потенциал которого принимается равным нулю. Для удобства составления системы уравнений все узлы нумеруются, номер базисного узла – нулевой (рис.3.3) Направления узловых напряжений – от данного узла к базисному.
Число уравнений,
которые составляются для нахождения
неизвестных узловых напряжений, равно
,
где
- число ветвей, содержащих вырожденные
источники ЭДС (в этих ветвях есть только
источники ЭДС).
В нашем случае
,
,
.
Так как у нас есть один вырожденный
источник ЭДС, то узловое напряжение
,
то есть нам известно. Поэтому необходимо
составить систему уравнений относительно
и
.
Для каждого
узла находится собственная проводимость
,
равная сумме проводимостей всех ветвей,
сходящихся в данном узле.
Например, в узле
1 сходятся ветви с токами
,
,
(ветвь с источником тока не учитываем,
так как его сопротивление бесконечно
велико, следовательно, проводимость
равна нулю). Поэтому
.
Собственная проводимость берется всегда
с плюсом. Для узла 2 получим:
.
Для
и
узлов определяется взаимная проводимость
,
равная сумме проводимостей всех ветвей,
включенных между
и
узлом.
Например, для
нашего примера:
,
,
.
Взаимные проводимости с базисным узлом
не рассматриваются.
Для каждого
узла определяется суммарный
ток
для данного узла, равный сумме всех
источников тока, входящих или исходящих
из данного узла и сумме отношений всех
невырожденных ЭДС, входящих в ветви,
связанные с данным узлом, к полным
комплексным сопротивлениям этих ветвей.
При этом если источник тока либо ЭДС
входит в данный узел, то соответствующее
слагаемое берется с плюсом, если исходит
из узла – то с минусом.
Для нашего случая:
,
.
(Так как источник тока
входит в узел 1, а в узел 2 не входят ни
один источник тока, ни один источник
невырожденной ЭДС).
Составляется система уравнений относительно базисных напряжений:
(3.5)
Заметим, что в системе (3.5) перед всеми взаимными проводимостями стоит знак минус. Это общее правило.
Учитывая, что , перепишем систему (3.5) так:
(3.6)
Найдя из системы
(3.6)
и
,
выразим токи во всех ветвях через
и
с помощью законов Кирхгофа. Например,
для контура 1, выделенного на рис.3.3
пунктиром, получим
откуда найдем:
Аналогично, рассматривая другие выделенные контуры, получим:
,
,
.
Токи
и
выразим с помощью уравнений по первому
закону Кирхгофа для узлов 1 и 3:
,
.
Для закрепления материала составьте систему уравнений по МУП для схемы, приведенной на рис.3.1а. Попробуйте, не обращаясь вначале к дальнейшим пояснениям, решить эту задачу самостоятельно. Для удобства на рис.3.4а приведена та же схема, что и на рис.3.1а.
Выберем базисный
узел. В нашем случае число ветвей с
вырожденными источниками ЭДС равно
,
поэтому базисный узел выбирается
произвольно.
Число уравнений
по МУН равно
.
С помощью рис.3.4б найдем собственные проводимости узлов:
,
,
,
,
.
Найдем взаимные проводимости узлов:
,
,
,
,
,
,
.
Найдем суммарные токи для каждого узла:
,
,
,
,
.
Составляем систему уравнений относительно узловых напряжений
:
(3.7)
После решения системы (3.7) выражаем токи во всех ветвях через найденные узловые напряжения:
,
,
,
,
,
,
.
Рассмотрим теперь численное нахождение токов в ветвях схемы, приведенной на рис.3.4а, с помощью методов контурных токов и узловых напряжений.
Пусть для этой схемы известно:
,
,
,
,
,
,
,
;
временные функции источников энергии
имеют вид:
В,
В,
,
,
.
Ниже приведен текст программы пакета Mathcad 2001i Professional по расчету токов ветвей для указанной схемы. Расчет проводился двумя методами: с помощью метода контурных токов и метода узловых напряжений.
Из приведенного текста программы видно, что расчет по обоим методам дал один и тот же результат. Однако для данной схемы целесообразнее применять метод контурных токов, поскольку порядок системы уравнений тогда получается меньше, чем порядок соответствующей системы уравнений по методу узловых напряжений.
Примечание. Для изучения или совершенствования работы с пакетом Mathcad предлагается книга:
Макаров Е.Г. Инженерные расчеты в Mathcad. Учебный курс. – СПб.: Питер, 2005. – 448 с.:ил.
