Основные правила работы с комплексными числами

Напомним кратко правила работы с комплексными числами.

Комплексные числа принято изображать на комплексной плоскости (рис.2.1).

Для комплексного числа установлена следующая терминология: - аргумент комплексного числа , - модуль , - действительная часть , обозначаемая еще как , - мнимая часть , обозначаемая еще как . Существует две формы представления комплексного числа: алгебраическая

, (2.1)

где геометрически имеет смысл единичного вектора вдоль вертикальной (так называемой мнимой) оси, а алгебраически удовлетворяет равенству

, (2.2)

и экспоненциальная (показательная)

. (2.3)

Равенства (2.1) и (2.3) устанавливают правило перехода от и к и :

,

, (2.4)

что следует из известной вам формулы Эйлера

. (2.5)

Аргумент положителен, если лежит в первом или втором квадрантах, иначе .

Иногда требуется перейти от алгебраической формы к показательной. Для получения правила этого перехода рассмотрим поочередно комплексные числа , , , , находящиеся в разных квадрантах комплексной плоскости. Выражая аргументы для , , , через соответствующие мнимые и действительные части, получим:

, ,

, . (2.6)

П равило перехода от действительной и мнимой частей к модулю , общее для всех комплексных чисел, имеет вид:

. (2.7)

Пусть даны два комплексны числа и . Их сумма по определению равна

, (2.8)

а произведение есть

. (2.9)

Для отношения к справедлива формула:

. (2.10)

Теперь рассмотрим понятие комплексно - сопряженной величины.

Пусть дано комплексное число . Числом, комплексно-сопряженным к , назовем число (рис.2.2). Из рис.2.2. видно: чтобы получить на комплексной плоскости число, комплексно – сопряженное к , необходимо отразить симметрично относительно оси вектор, соответствующий числу . Если использовать экспоненциальную форму записи комплексного числа, получим:

. (2.11)

Метод комплексных амплитуд. Законы Кирхгофа в частотной области

Теперь продолжим разговор о гармоническом режиме в линейных цепях.

При анализе линейных электрических цепей синусоидального тока используют метод комплексных амплитуд (МКА). Суть метода заключается в том, что от временных функций токов и напряжений переходят к их комплексным амплитудам по правилу:

,

,

,

, (2.12)

где и - известные функции мгновенных значений некоторых источника тока и источника ЭДС, и - их известные комплексные амплитуды; и ток и напряжение на произвольном элементе схемы, и - их неизвестные комплексные амплитуды. Величины , , , называются амплитудными значениями гармонических функций , , , ; величины , и т.д. – их действующими значениями.

От полюсных уравнений для мгновенных значений ИЭ переходят к их комплексным полюсным уравнениям:

,

, (2.13)

где , , - комплексные сопротивления емкости, индуктивности и омического сопротивления соответственно; , , - соответствующие проводимости. Заметим, что для комплексного сопротивления резистора отсутствует зависимость от частоты. Для комплексных амплитуд токов и напряжений остаются справедливыми законы Кирхгофа, а именно:

первый закон Кирхгофа:

Алгебраическая сумма комплексных амплитуд токов, входящих или исходящих из каждого узла, равна нулю. Если некоторый ток исходит из узла, то он берется с плюсом, иначе – с минусом, т.е.:

; (2.14)

второй закон Кирхгофа:

Для каждого независимого контура из некоторой СНК алгебраическая сумма комплексных амплитуд напряжений на всех ИЭ, входящих в данный контур, равна алгебраической сумме комплексных амплитуд всех ЭДС, действующих в этом контуре. Если некоторое напряжение или ЭДС совпадает с выбранным направлением обхода контура, то они берутся с плюсом, иначе – с минусом, т.е.:

. (2.15)

Таким образом, законы Кирхгофа теперь сформулированы для комплексных амплитуд; поскольку применение метода комплексных амплитуд связано у нас с гармоническим режимом, соответствующим некоторой частоте, то эти законы называются еще законами Кирхгофа в частотной области, в отличие от ранее рассмотренных законов Кирхгофа во временной области.

Для ранее рассмотренной схемы на рис.1.5 получим такую полную систему уравнений:

(2.16)

Далее система (2.16) должна быть решена относительно комплексных амплитуд токов или напряжений.

После нахождения, например, комплексных амплитуд токов во всех ветвях , , , необходимо перейти от этих комплексных амплитуд к соответствующим искомым мгновенным значениям токов в ветвях. Для этого пользуются правилом, которое мы рассмотрим применительно к искомой функции :

, (2.17)

где комплексная амплитуда находится в результате решения системы (2.16).

Аналогично осуществляется переход ко временным функциям для всех остальных комплексных амплитуд токов и напряжений.

Рассмотрим теперь ранее введенное понятие действующего значения (тока или напряжения). Для этого рассчитаем электрическую энергию, потребляемую резистором с сопротивлением , если через него течет переменный ток амплитуды и частоты : . Мгновенная мощность, выделяющаяся на резисторе, в силу (1.17) равна . Тогда энергия, которая выделится на резисторе в виде тепла за один период изменения синусоидального тока, равна интегралу от в пределах, например, от до (см. (1.18)):

(2.18)

где .

Из (2.18) видно, что если бы через тот же резистор тек постоянный ток величины , то за один и тот же интервал времени или кратный , на резисторе выделилась бы та же мощность, что и при действии на этот же резистор синусоидального тока с амплитудой .

Аналогично вводится понятие действующего значения напряжения.

Комплексные амплитуды электрических величин можно изображать графически и работать с ними как с векторами на комплексной плоскости.