3.5. Уравнение прямой с угловым коэффициентом
Пусть
— общее уравнение прямой
на плоскости. Предположим, что
.
Тогда
,
где
,
.
Исследуем геометрический смысл коэффициента .
Пусть
и
.
Поскольку точки
и
принадлежат прямой
,
их координаты удовлетворяют ее уравнению:
,
(5)
.
(6)
Вычитая (5) из (6), имеем:
,
где
,
Рис. 17
Таким
образом,
— уравнение
прямой
на плоскости с угловым
коэффициентом
.
Здесь:
— угол,
который прямая
образует с осью
,
— точка,
в которой прямая пересекает ось
(
),
— координаты текущих точек прямой .
Пример 19. Пусть прямая задана общим уравнением: . Требуется написать ее уравнение с угловым коэффициентом.
Решение.
Имеем:
=
.
Следовательно, угловой коэффициент равен . Очевидно,
— координаты
точки, в которой прямая пересекает ось
,
— координаты
точки, в которой прямая пересекает ось
.
Пример 20. Описать свойства уравнений прямых на плоскости, параллельных оси .
Решение.
В
этом случае
и
.
Если прямая
задана своим общим уравнением
,
то
;
но
.
Таким образом, общее уравнение любой прямой, параллельной оси , всегда имеет вид
.
(7)
Уравнение такой прямой с угловым коэффициентом имеет вид:
.
Итак,
уравнение вида
(или, в общем виде,
)
на плоскости описывает прямую, параллельную
оси
и пересекающую ось
в точке
.
Пример 21. Описать свойства уравнений прямых на плоскости, параллельных оси .
Решение.
В
этом случае
и
.
Если прямая
задана своим общим уравнением
,
то
;
но
.
Таким образом, общее уравнение любой прямой, параллельной оси , всегда имеет вид
.
(8)
Это уравнение эквивалентно уравнению вида
,
где
.
Итак,
уравнение вида
(или, в общем виде,
)
на плоскости описывает прямую, параллельную
оси
и пересекающую ось
в точке
.
Пример 22. Четыре прямые заданы своими общими уравнениями:
:
,
:
,
:
,
:
.
Требуется описать взаимное расположение прямой с прямыми , и .
Решение. Прямые и пересекаются, так как существует общая точка этих прямых, координаты которой удовлетворяют уравнениям данных прямых:
Пара координат точки пересечения является единственным решением этой системы.
Ответ
1:
— координаты точки пересечения прямых
и
.
Ответ 2: Прямые и параллельны.
Действительно,
система
не имеет решений (прямые и не имеют общих точек):
:
=
,
:
=
;
и
— параллельны, так как не пересекаются
и имеют равные угловые коэффициенты:
.
Ответ 3: Прямые и совпадают.
Действительно,
система
имеет бесконечное множество решений, так как состоит из двух эквивалентных уравнений:
: = ,
:
=
.
Оба уравнения описывают одну и ту же прямую.
Полезно отметить, что справедливо следующее
Утверждение 9. Если две прямые заданы своими общими уравнениями и , то могут представиться три случая:
1)
— прямые имеют одну общую точку;
2)
— прямые параллельны;
3)
— прямые совпадают.