3.2.1. Угол между двумя прямыми, заданными в общем виде
Пусть
прямые
и
заданы своими общими уравнениями:
:
,
:
.
Угол
между прямыми будем искать как угол
между их нормалями. Имеем:
=
— нормальный вектор прямой
,
=
— нормальный вектор прямой
,
.
(2)
3.2.2. Условие параллельности двух прямых на плоскости
Пусть прямые и заданы своими общими уравнениями:
: , где = — нормаль прямой ;
: , где = — нормаль прямой .
Тогда
(см. п. 2.4.5).
Условие параллельности прямых и : .
Пример 15. Пусть прямые и заданы своими общими уравнениями:
:
,
где
=
— нормаль прямой
;
:
,
где
=
— нормаль прямой
.
Очевидно,
что
,
так как
.
Действительно,
.
3.2.3. Условие перпендикулярности двух прямых на плоскости
Пусть прямые и заданы своими общими уравнениями:
: , где = — нормаль прямой ;
: , где = — нормаль прямой .
Тогда
(
,
)=0
.
Условие перпендикулярности прямых и : .
Пример 16. Пусть прямые и заданы своими общими уравнениями:
:
,
где
=
— нормаль прямой
;
:
,
где
=
— нормаль прямой
.
Очевидно, что , поскольку . Действительно,
(
,
)
=
.
3.3. Уравнение прямой в отрезках
Пусть
:
— общее уравнение некоторой прямой, и
пусть
,
т. е. прямая не проходит через начало
координат. Тогда
;
здесь
,
.
Уравнение
вида
называется уравнением
прямой в отрезках.
Очевидно, прямая
пресекает координатные оси
и
в точках
и
,
соответственно. Действительно: если
,
то
;
а если
,
то
.
Поэтому
и
— точки пересечения прямой
с осями координат.
Пример 17. Пусть : . Найти точки, в которых прямая пересекает координатные оси.
Решение. Запишем уравнение прямой в отрезках:
(
,
,
)
,
,
и
— точки пересечения прямой с осями
координат.
3.4. Расстояние от точки до прямой на плоскости
Рис. 16
Пусть
дана прямая
:
,
где
— ее нормальный вектор, и пусть точка
,
т. е.
.
Требуется определить расстояние от
точки
до прямой
(см. рис. 16).
Пусть
— ортогональная проекция точки
на прямую
.
Тогда
.
Очевидно,
= {
,
}.
Отсюда
или .
Напомним,
что (
,
)
=
,
где
— угол между векторами
и
;
здесь
=
Отсюда
(
,
)
=
и |(
,
)|
=
.
Следовательно,
=
=
=
=
.
Таким
образом, расстояние
от точки
до прямой
находится по формуле
= = . (3)
Найдем
теперь расстояние от начала координат
до прямой
:
=
.
(4)
Пример
18.
Найти расстояния от точки
и от начала координат до прямой
:
.
Решение.
Имеем
=
,
где
,
,
,
,
.
Отсюда
=
=
.
Расстояние от начала координат до данной прямой:
=
=
.