1.4. Расстояние между точками на плоскости
Определение
3. Число
=
=
есть расстояние
между точками
и
на плоскости (см. рис. 2).
Y
0
X
Рис. 2
Пример
4.
Пусть
,
.
Тогда
=
.
1.5. Деление отрезка на плоскости в данном отношении
Требуется
найти точку
,
делящую отрезок
в отношении
.
Y
0
X
Рис. 3
Проекции отрезка делятся в тех же пропорциях, что и сам отрезок (см. рис. 3). Отсюда
=
=
=
.
Аналогично
=
=
=
.
Пример
5.
Пусть
,
.
Найти точку
,
делящую отрезок
в отношении
=
.
Решение. Мы имеем
=
= 1, где
,
,
,
;
=
=
,
где
,
,
,
.
Ответ:
.
1.6. Уравнения отрезка, лежащего на плоскости
Пусть точка делит отрезок в отношении . Тогда (см. п. 1.5)
= + = ( ) + ,
=
+
= (
)
+
,
где
и
.
Рассматривая
как параметр, мы получаем, что каждому
значению
[0, 1]
по формулам
= (
)
+
,
= (
)
+
соответствует некоторая точка (
,
)
на отрезке
.
При
определяются координаты точки
:
=
,
=
.
При
определяются координаты точки
:
=
,
=
.
Определение
4.
Пусть
и
— точки на плоскости
.
Уравнениями
отрезка
(на плоскости) называются формулы вида
Пример 6. Составить уравнения отрезка , где , .
Ответ:
2. Начальные сведения о векторах
2.1. Понятие геометрического вектора
Определение
5. Геометрический
вектор
— это направленный отрезок прямой на
плоскости или в пространстве, у которого
один конец (точка
)
называется началом вектора, другой
конец (точка
)
концом вектора.
Обозначения
вектора:
или
.
Вектор характеризуется длиной
(или модулем)
и направлением: от
к
.
Модуль вектора равен длине отрезка
и обозначается
или
.
Определение
6.
Вектор
называется вектором, противоположным
вектору
.
Вектор называется нулевым,
если он имеет нулевую длину.
Очевидно, модули противоположного и исходного векторов равны. У нулевого вектора начало и конец совпадают. Нулевому вектору приписывают любое направление.
Определение
7. Два
вектора называются коллинеарными,
если они лежат на одной прямой или на
параллельных прямых. Два коллинеарных
вектора называются одинаково
(противоположно)
направленными,
если их концы лежат по одну сторону (по
разные стороны) от прямой, соединяющей
их начала, или от общего начала. Если
вектора
и
одинаково (противоположно) направлены,
мы будем писать:
(
).
Если вектора
и
коллинеарны, мы будем писать:
.
Определение
8. Два
вектора называются равными,
если они имеют равные длины и одинаково
направлены (т. е.
,
если
и
).
Все нулевые векторы считаются равными.