Пример1.Определить количество способов расстановки на полке трёх различных книг.

Обозначим книги буквами А, В и С. Все варианты линейной расстановки книг можно представить путём построения специального графика, получившего названия дерева графа. Заполнение каждого места на полке –это совершение действия. Каждое действие может выполнено определённым количеством способов. Продемонстрируем это на графике.

Из исходной точки графика О вправо отходят три луча (ветви), соответствующие возможному расположению имеющихся книг на 1-м месте полки, Видно, что первое действие можно выполнить тремя способами. Для заполнения второго места на полке используется любая из двух оставшихся книг, т.е. второе действие можно выполнить уже только двумя способами. На третье место на полке кладётся оставшаяся последняя книга, т.е. третье действие выполняется одним способом.

1-е место 2-ое место 3-е место Варианты

расположения

B C АВС

A

C B АСВ

A С ВАС

О B

C А ВСА

A В САВ

C

B А СВА

Количество Три Два Один

способов

Рис.

Решение с помощью правила (принципа) умножения

Три места на полке изобразим в виде трёх клеток, в каждой из которых отметим количество способов выполнения действий:

3

2

1

Общее количество способов возможных расположений (размещений)на полке имеющихся книг находится перемножением чисел, указанных в клетках:

3*2*1=6.

Следует обратить внимание, что рассматриваются только линейные расстановки объектов подобно упорядочению точек вдоль прямой, а не другие виды размещения объектов, например, при составлении букета цветов или оформлении интерьера помещений.

Принцип умножения.

(Правило умножения. Правило произведения.)

При образовании последовательностей элементов из совокупностей с повторяющимися элементами, например, при составлении слов (в них буквы могут повторяться и от перестановки букв смысл слова изменяется), при образовании телефонных номеров, или решая такую задачу как выпуск номерных знаков автомобилей (в номерах цифры также могут повторяться и важен порядок расположения цифр,188 и 818-разные номера) уже недостаточно понятия множества, так как в множествах элементы не повторяются и их порядок расположения не играет роли. Для таких совокупностей используется другое понятие, отличное от понятия множества. Чаще всего используется для этих целей термин кортеж. Это слово заимствовано из французского языка и означает буквально торжественное шествие. В русском языке также существуют такие понятия как кортеж автомобилей, свадебный кортеж. В кортежах автомобилей могут принимать участие автомашины одинаковых марок. Считая автомобили одной и той же марки неразличимыми, получаем, что в этом кортеже один и тот же элемент повторяется несколько раз. Остановимся на понятии кортеж в математическом смысле. Пусть имеется несколько конечных множеств Х_{1, …,} Х_k, состоящих соответственно из n₁, …, n_k элементов. Будем теперь последовательно отбирать из этих множеств их элементы: из множества Х₁ отберём случайным образом элемент a₁,а из множества Х₂ отберём элемент a₂ и так далее до отбора элемента a_k из множества Х_k. Полученная последовательность отобранных элементов, расположенная в порядке их отбора (a₁, a₂,…, a_k) называется кортежем длины k, составленным из элементов множеств Х_{1, …,} Х_k. Элементы a₁, a₂,…, a_k называются компонентами, или координатами кортежа. . Наряду со словом кортеж в математике применяют термины «конечная последовательность», «размещение», «вектор», «слово» и т.д..

Два кортежа называют равными в том и только в том случае, когда они имеют одинаковую длину, а на соответствующих местах стоят одни и те же элементы. Допускается, что множества Х_{1, …,} Х_k могут иметь общие элементы и в кортежах координаты могут повторяться. Например, кортеж может иметь вид: (6,6,2,2,3,6,2,4,3,6). Возможен также случай, когда все множества Х_{1, …,} Х_k совпадают. Тогда считают, что располагают одним множеством Х, извлечённые элементы из которого после записи в кортеж возвращают в исходное множество.

Кортежами являются номера телефонов, составленные из множества Х={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, записи слов, образованные из букв соответствующего языка, предложения, составленные из слов, населенные пункты, компонентами которых можно считать дома или коттеджи одинаковой или различной архитектуры.

Правило произведения основывается на следующих рассуждениях. Пусть имеются конечные множества Х_{1, …,} Х_k, состоящие соответственно из n₁, …, n_k элементов. Подсчитаем, сколько кортежей можно составить из элементов эти множеств. Сначала найдём число кортежей длиной 1, составленных из элементов множества Х₁.Очевидно, что их будет n₁. К каждому из этих кортежей припишем справа по очереди все элементы множества Х₂. Получится n₂ кортежей длины 2, у которых первой координатой является элемент a₁, n₂ кортежей длины 2 с первой координатой a₂, и так далее до кортежа с первой координатой a_n1. Всего получается n₁ n₂ кортежей длины 2. Приписывая по очереди к этим кортежам все элементы множества Х₃ получим n₁ n₂ n₃ кортежей длины 3. Продолжая этот процесс получим n₁ n₂ … n_k кортежей длины k. Основываясь на этом можно сформулировать правило, получившее название правила произведения.

Если элемент a₁ можно выбрать n₁ способами , следующий за ним элемент a₂ можно выбрать n₂ способами и так далее до элемента а_k , который можно отобрать n_k способами, то кортеж (a₁,a₂,…, a_k) можно составить n₁ n₂ … n_k способами.

Размещения с повторениями

П усть множества Х_{1, …,} Х_k , из элементов которых составляются кортежи, могут иметь общие элементы. В частности, указанные множества могут совпадать с одним и тем же множеством Х, содержащим n элементов. Кортежи длины k , составленные из элементов n-множества Х, называют размещениями с повторениями из n элементов по k, а их число обозначают

Из правила произведения следует, что число размещений с повторениями из n элементов по k равно произведению k сомножителей, каждый из которых равен n, т.е. n^k:

Примеры:

1.В 1838г. изобретатель электрического телеграфа Морзе предложил для передачи сообщений по телеграфу использовать коды, состоящие из точек и тире, для представления букв, цифр и знаков препинания. Из одной точки и из одного тире можно построить два кортежа длиной один, кортеж длиной два можно составить четырьмя способами и используя далее формулу для размещений с повторениями получим.:

Длина кортежа k	Число кортежей	Состав кортежей
1	21=2	• ; –.
2	22=4	• –;–•.
3	23=8	••–;•–•;–••;– – –;•••;–•–;•– –;– –•.
4	24=16	••••; •••–; ••–•; •–••; –•••; ••– –; •–•–; •– –•; – –••;–•–•;••– –; – –•–; – – –•;–•– –;•– – –;– – – –.

Кортежам точек и тире, содержащих не более четырёх знаков, можно поставить в соответствие 30 букв: 2+4+8+16. Для передачи сообщений с использованием русского алфавита (33 буквы), а также цифр и знаков препинания следует присоединить кортежи длиной пять. Тогда получится 62 кортежа: 2¹ +2² +2³+2⁴ +2⁵=62.

Размещения без повторений

П усть множество Х состоит из n различающихся между собой элементов. Кортежи длины k, составленные из элементов этого множества, называют размещениями без повторений из n элементов по k, а их число обозначают (без черты над буквой).

В ывод формулы числа размещений с таким свойством основан на следующем рассуждении. Первым элементом кортежа может явиться любой из n элементов. На второе место в кортеже может поставлен любой из оставшихся n-1 элементов, на третье – любой из остальных (n-2) элементов и т.д.. Для размещения на k-ом месте остаются n- (k-1)= n- k+1 элементов. Используя правило произведения, получим:

Ф ормулу можно преобразовать, введя в её правую часть дробь

В результате получим формулу числа размещений без повторений:

Перестановки без повторений

Если размещения элементов без повторений выполнять при условии, что k=n, т.е. длина кортежей равна n и они состоят из одних и тех же элементов, расположенных в различном порядке, то такие размещения называют перестановками из n элементов. Их число обозначают P_n.

Перестановки с повторениями

Из множества, состоящего из четырёх различных элементов, можно получить 24 кортежей- перестановок длиной 4: P₄ =4!=24. Но если элементы повторяются, то число перестановок сокращается. Например, переставляя буквы в слове АННА, получим только 6 «слов» :

АННА, АНАН, НАНА,НААН,ААНН,ННАА.

Перед выводом общей формулы для подсчёта числа перестановок с повторениями, рассмотрим частный случай. Поставим в соответствие цифрам 1 и 4 букву А, а цифрам 2и 3 букву Н. Тогда , например, последовательность 1234 будет соответствовать слову АННА, а последовательность 1243-слову АНАН. Запишем все 24 перестановки из цифр 1,2,3,4 и соответствующие им «слова»:

1234,2134, 1243,2143,

АННА,НАНА,АНАН,НААН

1324, 2314,1423, 2413

АННА,ННАА,ААНН,НААН

1342,2341,1432, 2431,

АНАН,ННАА,ААНН,НАНА

3214,3124,4213,4123,

ННАА,НАНА,АНАН,ААНН

3142,3241,4132,4231,

НААН,ННАА,ААНН, АННА

3412,3421,4312,4321

НААН,НАНА,АНАН,АННА.

Слову АННА соответствуют 4 перестановки:1234, 1324, 4231,4321. Слову АНАН соответствуют также 4 перестановки: 1243, 1342, 4213, 4312, и т.д. Из любой перестановки можно получить перестановку, приводящую к тому же самому слову, путём перемены в ней местами либо цифр 2 и 3, либо 4 и 1, т.е. имеем для каждого слова четвёртки перестановок.

Отсюда видно, что всё множество из 24 перестановок цифр 1,2,3,4 состоит из четвёрок, дающих одно и то же слово. Поэтому число различных слов равно 4!/4=6.

Рассмотрим теперь задачу в общем виде. Пусть дан кортеж длины n, составленный из элементов множества Х=(a₁,…, a_k), причём элемент a₁ входит в этот кортеж n₁ раз, …, элемент a_k входит n_k раз. Тогда общее количество элементов n= n₁+…+ n_k. При перестановке в этом кортеже элементов получаются новые кортежи, имеющие тот же состав, т.е. такие, что элемент a₁ входит в них n₁ раз, …, элемент a_k входит в них n_k раз. Такие кортежи называются перестановками с повторениями из элементов a₁,…, a_k, каждый из которых имеет численность соответственно n₁,…, n_k.Число таких перестановок обозначается Число перемещений одинаковых элементов внутри кортежа, не меняющих содержательную сторону перестановки, равно n₁,…, n_k в соответствии с правилом произведения. Число перестановок n элементов осуществляется n! способами. Поэтому число различных перестановок элементов, имеющих состав (n₁,…, n_k), в n₁,…, n_k раз меньше, чем n!: