- •Рабочая программа учебной дисциплины
- •Объем дисциплины, виды учебной работы и формы контроля в соответствии с учебным планом специальностей по формам обучения
- •Тема 7. Численное решение краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений
- •Тема 8. Обзор методов решения уравнений в частных производных
- •Раздел 2. Численные методы решения дифференциальных уравнений
- •Тестовые задания
- •Раздел 1. Методы решения задач алгебры и математического анализа
- •1. Чем вызвана неустранимая погрешность?
- •3. Пусть а - точное, а - приближенное значение некоторого числа. Дайте опре деление относительной погрешности.
- •7. Чем обусловлено появление погрешности округления при численном реше нии поставленной задачи?
- •8. Дайте определение сплайн-функции.
- •9. Сформулируйте постановку задачи интерполирования функции.
- •15. Назовите достоинства и недостатки интерполяционных формул Лагранжа.
- •16. В чем состоит сущность метода наименьших квадратов?
- •17. Когда удобно пользоваться интерполяционной схемой Эйткена?
- •19. Назовите области применения интерполирования функций.
- •С какой точностью можно вычислить по интерполяционной формуле Ла гранжа 1п 100,5 по известным значениям 1п 100, 1п 101, 1п 102 и 1п 103. А)4,5-10"5; б)6,7-10"7; в)2,3-10"9.
- •23. Опишите методику вычисления определенного интеграла по формулам прямоугольников.
- •25. Определить величину шага к по оценке остаточного члена для вычисления
- •26. Назовите области применения формул численного интегрирования.
- •29. Выбор шага интегрирования для обеспечения заданной точности вычисле ния интеграла с помощью метода двойного пересчета.
- •30. Проведите сравнение формул численного интегрирования по точности на основании остаточных членов формул.
- •32. Отличие метода Гаусса с выбором главного (ведущего) элемента от метода Гаусса решения системы линейных алгебраических уравнений.
- •33. В чем преимущество метода Зейделя для решения системы линейных ал гебраических уравнений перед методом простой итерации?
- •34. Для решения систем линейных алгебраических уравнений какого вида раз работан метод прогонки?
- •35. Опишите метод Гаусса решения системы линейных алгебраических уравнений.
- •36. Почему метод простой итерации решения систем линейных алгебраических уравнений называется самоисправляющимся?
- •37. Каковы недостатки решения системы уравнений по правилу Крамера?
- •38. Опишите метод Якоби (простой итерации) решения системы линейных ал гебраических уравнений.
- •39. Опишите метод деления отрезка пополам.
- •41. В чем достоинство и недостаток метода Ньютона нахождения корней нели нейного уравнения?
- •43. Решение нелинейного уравнения методом простой итерации.
- •44. Проведите сравнение методов деления отрезка пополам (доп) и Ньютона по различным критериям (универсальность, скорость сходимости).
- •45. Назовите основные этапы процесса нахождения корня нелинейного уравнения.
- •Раздел 2. Численные методы решения дифференциальных уравнений 1. В чем достоинство неявных методов решения дифференциальных уравнений?
- •3. Оценить погрешность аппроксимации правой разностной производной
- •4. Численное решение методом Эйлера задачи Коши для обыкновенных диф ференциальных уравнений.
- •5. Почему метод Рунге-Кутта называется самостартующим?
- •6. Опишите построение разностной схемы для численного решения обыкно венного дифференциального уравнения.
- •7. Разностная аппроксимация дифференциальных операторов.
- •8. Оценить погрешность аппроксимации центральной разностной производной
- •9. Какой метод численного решения дифференциального уравнения называет ся многошаговым?
- •10. Опишите сущность разностной аппроксимации задачи Коши для обыкно венного дифференциального уравнения первого порядка.
- •11. Оценить погрешность аппроксимации левой разностной производной
- •14. Какая конечно-разностная схема, аппроксимирующая дифференциальное уравнение в частных производных, называтся согласованной?
- •15. Какая задача для уравнений в частных производных называется корректно поставленной?
- •16. Физический смысл условия Куранта-Фридлихса-Леви.
- •17. Какая конечно-разностная схема называется слабо неустойчивой (устойчивой)?
- •18. Какие физические процессы описывают уравнения в частных производных эллиптического типа?
- •19. Укажите методы построения конечно-разностных схем, аппроксимирующих дифференциальное уравнение в частных производных.
- •20. Дайте определение маршевой задачи для уравнений в частных производных.
С какой точностью можно вычислить по интерполяционной формуле Ла гранжа 1п 100,5 по известным значениям 1п 100, 1п 101, 1п 102 и 1п 103. А)4,5-10"5; б)6,7-10"7; в)2,3-10"9.
Опишите методику нахождения корней уравнения Дх) = 0 методом обратно го интерполирования.
а) Рассмотрим функцию у =Дх) и составим таблицу ее значений, близких к нулю. При этом количество узлов выбираем в зависимости от требуемой точности корня. В качестве х0 и Х\ берем те соседние узлы, для которых /(х0)-/(х1)<0, и применяя
метод обратного интерполирования, отыскиваем значение х, при которому = 0.
б) Рассмотрим интервал [<з, Ь], на концах которого функция Дх) принимает ненуле вые значения противоположного знака. Строим итерационную процедуру, состоя щую в переходе от такого интервала к новому интервалу, совпадающему с одной из половин предыдущего и обладающему тем же свойством. Процесс заканчивается, когда длина вновь полученного интервала станет меньше заданной точности 8, и в качестве корня уравнения приближенно принимается середина этого интервала.
в) На выбранном интервале строится система равноотстоящих точек х^ = х^+к-к (к=0, 1,2,...) при достаточно малом шаге к. Применяя метод обратного интерполи рования, находим значения функции у = Дх) в всех точках х^. Затем методом просто го перебора выбираем наименьшее значение функции у.
22. В чем состоит суть методов численного интегрирования функций?
а) Суть состоит в замене подынтегральной функции {(х) вспомогательной, интеграл от которой легко вычисляется в элементарных функциях.
б) Суть состоит в следующем: при заданном числе интервалов разбиения следует рас положить их концы так, чтобы получить наивысшую точность интегрирования.
в) Суть состоит в том, что из подынтегральной функции {(х) выделяют некоторую
22
функцию §(х), имеющую те же особенности, что функция Цх), элементарно интегрируемую на данном промежутке и такую, чтобы разность {(х)-§,(х) имела нужное число производных.
23. Опишите методику вычисления определенного интеграла по формулам прямоугольников.
а) Отрезок интегрирования [а, Ь] разбивается на п равных интервалов. В пределах каждого интервала [хг, хг+1] подынтегральная функция Дх) заменяется интерполяци онным многочленом Лагранжа первой степени с узлами хг- и хг+1, что соответствует замене кривой на секущую. Интеграл по [<з, Ь] вычисляется как сумма интегралов по всем частичным отрезкам.
б) В квадратурных формулах | г(г)Л =у с ги) + ч> коэффициенты сг- и абсциссы и
подбираются так, чтобы формулы были точны для многочленов наивысшей возможной степени N. При п узлах точно интегрируются все многочлены степени N < 2п-\. Коэффициенты сг- и абсциссы и находятся из системы 1п-\ нелинейных уравнений.
в) Отрезок интегрирования [а, Ь] разбивают на частичные отрезки [хг, хг-+1] равной длины. На каждом отрезке [хг, хг+1] подынтегральная функция Дх) заменяется на постоянную величину Дхг+1/2) (либо/(хг), либоДхг+1)) и интеграл по [а, Ь] вычисляет ся как сумма интегралов по всем частичным отрезкам.
24. Вычислить приближенное значение интеграла г_^_ по формуле трапеций
при й = 4.
а) Значение интеграла = 1,628. б) Значение интеграла = 1,683.
в) Значение интеграла = 1,647.