- •Рабочая программа учебной дисциплины
- •Объем дисциплины, виды учебной работы и формы контроля в соответствии с учебным планом специальностей по формам обучения
- •Тема 7. Численное решение краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений
- •Тема 8. Обзор методов решения уравнений в частных производных
- •Раздел 2. Численные методы решения дифференциальных уравнений
- •Тестовые задания
- •Раздел 1. Методы решения задач алгебры и математического анализа
- •1. Чем вызвана неустранимая погрешность?
- •3. Пусть а - точное, а - приближенное значение некоторого числа. Дайте опре деление относительной погрешности.
- •7. Чем обусловлено появление погрешности округления при численном реше нии поставленной задачи?
- •8. Дайте определение сплайн-функции.
- •9. Сформулируйте постановку задачи интерполирования функции.
- •15. Назовите достоинства и недостатки интерполяционных формул Лагранжа.
- •16. В чем состоит сущность метода наименьших квадратов?
- •17. Когда удобно пользоваться интерполяционной схемой Эйткена?
- •19. Назовите области применения интерполирования функций.
- •С какой точностью можно вычислить по интерполяционной формуле Ла гранжа 1п 100,5 по известным значениям 1п 100, 1п 101, 1п 102 и 1п 103. А)4,5-10"5; б)6,7-10"7; в)2,3-10"9.
- •23. Опишите методику вычисления определенного интеграла по формулам прямоугольников.
- •25. Определить величину шага к по оценке остаточного члена для вычисления
- •26. Назовите области применения формул численного интегрирования.
- •29. Выбор шага интегрирования для обеспечения заданной точности вычисле ния интеграла с помощью метода двойного пересчета.
- •30. Проведите сравнение формул численного интегрирования по точности на основании остаточных членов формул.
- •32. Отличие метода Гаусса с выбором главного (ведущего) элемента от метода Гаусса решения системы линейных алгебраических уравнений.
- •33. В чем преимущество метода Зейделя для решения системы линейных ал гебраических уравнений перед методом простой итерации?
- •34. Для решения систем линейных алгебраических уравнений какого вида раз работан метод прогонки?
- •35. Опишите метод Гаусса решения системы линейных алгебраических уравнений.
- •36. Почему метод простой итерации решения систем линейных алгебраических уравнений называется самоисправляющимся?
- •37. Каковы недостатки решения системы уравнений по правилу Крамера?
- •38. Опишите метод Якоби (простой итерации) решения системы линейных ал гебраических уравнений.
- •39. Опишите метод деления отрезка пополам.
- •41. В чем достоинство и недостаток метода Ньютона нахождения корней нели нейного уравнения?
- •43. Решение нелинейного уравнения методом простой итерации.
- •44. Проведите сравнение методов деления отрезка пополам (доп) и Ньютона по различным критериям (универсальность, скорость сходимости).
- •45. Назовите основные этапы процесса нахождения корня нелинейного уравнения.
- •Раздел 2. Численные методы решения дифференциальных уравнений 1. В чем достоинство неявных методов решения дифференциальных уравнений?
- •3. Оценить погрешность аппроксимации правой разностной производной
- •4. Численное решение методом Эйлера задачи Коши для обыкновенных диф ференциальных уравнений.
- •5. Почему метод Рунге-Кутта называется самостартующим?
- •6. Опишите построение разностной схемы для численного решения обыкно венного дифференциального уравнения.
- •7. Разностная аппроксимация дифференциальных операторов.
- •8. Оценить погрешность аппроксимации центральной разностной производной
- •9. Какой метод численного решения дифференциального уравнения называет ся многошаговым?
- •10. Опишите сущность разностной аппроксимации задачи Коши для обыкно венного дифференциального уравнения первого порядка.
- •11. Оценить погрешность аппроксимации левой разностной производной
- •14. Какая конечно-разностная схема, аппроксимирующая дифференциальное уравнение в частных производных, называтся согласованной?
- •15. Какая задача для уравнений в частных производных называется корректно поставленной?
- •16. Физический смысл условия Куранта-Фридлихса-Леви.
- •17. Какая конечно-разностная схема называется слабо неустойчивой (устойчивой)?
- •18. Какие физические процессы описывают уравнения в частных производных эллиптического типа?
- •19. Укажите методы построения конечно-разностных схем, аппроксимирующих дифференциальное уравнение в частных производных.
- •20. Дайте определение маршевой задачи для уравнений в частных производных.
15. Назовите достоинства и недостатки интерполяционных формул Лагранжа.
а) Достоинство - метод наиболее прост в понимании и организации вычислительно го процесса. Основной недостаток метода - при увеличении числа узлов и соответ ственно степени интерполяционный многочлен Лагранжа требуется строить заново.
б) Достоинство - метод относится к числу итерационных методов и имеет наиболь шую точность интерполяции. Основной недостаток метода - медленная скорость сходимости, что приводит к значительным затратам машинного времени.
в) Достоинство - использование многочленов невысокого порядка и вследствие это го малое накопление погрешностей в процессе вычислений. Основной недостаток метода - из числа методов интерполяции наиболее сложен в организации вычисли тельного процесса.
16. В чем состоит сущность метода наименьших квадратов?
а) Метод состоит в следующем. Весь отрезок интерполирования разбивают на час тичные отрезки и на каждом из частичных отрезков приближенно заменяют интерпо лируемую функцию Дх) многочленом невысокой степени. Для того чтобы не возни кало разрывов производной в местах сочленения, на каждом частичном отрезке сте пень полинома берется «с запасом», а возникающую свободу в выборе коэффициен тов полиномов используется для сопряжения производных на границах участков.
б) Метод состоит в том, что строится полином, сумма квадратов отклонений которо го от табличных значений интерполируемой функции _уг- =Дхг) минимальна, т.е. за меру качества аппроксимации функции Дх) полиномом Рт{х) в узлах хг принимают
п
сумму ^<э(хг) \/(х;)-Рт(х;) ]2 , где <ю(х) > 0 - заранее выбранная «весовая» функция.
г=1
в) Сущность метода наименьших квадратов состоит в ледующем. Строится полином
п ( п I \
вида Рп(х) = ^\ /(х()^(х-хк) / (*-хг-)]~[(хг- -хк) , принимающий в точках хг, называе-
г=(Л к=0 I Ы )
мых узлами, значения интерполируемой функции Дхг).
17. Когда удобно пользоваться интерполяционной схемой Эйткена?
а) Когда требуется найти многочлен Р„(х), значения которого в точках хг (/ = 0, 1 ,...,п) совпадают со значениями функции Цх), т.е. Р„(х1) = :Г(хг).
б) Когда требуется найти не общее выражение интерполяционного многочлена Р„(х), а лишь его значения при конкретных х и при этом значения функции даны в достаточно большом количестве узлов.
в) Когда требуется найти функцию ф(х), значения которой отличаются от табличных значений функций/(хо),/(х1), ... ,Дх„) на постоянную величину.
21
18. Написать интерполяционный полином Лагранжа для функции Дх), которая представлена четырьмя своими значениями: ДО) = -0,5; Д0,1) = 0; Д0,3) = 0,2 и Д0,5) = 1.
)3()
' Ь 3 12 2
19. Назовите области применения интерполирования функций.
а) К интерполированию функций чаще всего прибегают, когда приходится вычислять значения функции в промежуточных точках, при этом данная функция задана в таб личном виде и аналитическое выражение функции неизвестно. Интерполирование применяют и в случае, когда аналитический вид функции известен, но сложен и требу ет большого объема вычислений для определения отдельных значений функции.
б) К интерполированию функций чаще всего прибегают, когда приходится вычислять производные от функций, заданных таблично, или когда непосредственное дифферен цирование функции затруднительно. Интерполирование применяют и в случае, когда необходимо вычислить производные от функций, имеющих разрыв 2-го рода.
в) К интерполированию функций чаще всего прибегают, когда требуется определить допустимую погрешность аргументов по допустимой погрешности функции. Ин терполирование применяют и в случае, когда необходимо вычислить погрешность функции нескольких переменных при заданных погрешностях аргументов.