Раздел 2. Численные методы решения дифференциальных уравнений

Практическое задание к теме 6. Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений

Цель задания: изучение методов численного интегрирования обыкновенных диф-ференциальных уравнений, практическое решение уравнений на ЭВМ, сравнительный анализ рассмотренных методов.

Задания к работе.

1. Составить схемы алгоритмов решения задачи Коши для обыкновенных диффе-ренциальных уравнений методами Эйлера и Рунге-Кутта.

2. Написать, отладить и выполнить программы решения дифференциальных урав-нений, приведенных в табл. 5 (в соответствии с вариантом задания), методом Рунге-Кутта 4-го порядка точности. Предусмотреть в программе вычисление значений функции по заданному в таблице точному решению.

3. Результаты счета численным методом и по точному решению оформить в виде графика или таблицы.

4. Определить близость полученного заданным методом решения к точному зна -чению с помощью оценок:

7 = 1,2,...,и,

5 , = I > (у_; - у_;) / .1 > (уг) - интегральная оценка.

1 = 1 / V 1=1

Здесь у_г - точное решение, у_{ - полученное приближенное решение.

Таблица 5

№ п/п	Дифференциальное уравнение	Начальные условия	Шаг И	Интервал интегрирования	Точное решение
I	II	III	IV	V	VI
1	у"-2у' + у = 0	У(2) = 1 /(2) = -2	0,2	[2; Ю]	у = (7-3х)ех~2
2	у"-Зу' + 2у-2х + 3 = 0	У(0) = 1 У'(0) = 2	0,2	[0;8]	у = ех+х
3	у" + у = 4ех	МО) = 4 /(0) = -3	ОД	[0;4]	у = 2соъх + 2ех - - 5 81П X
4	х2у" + ху' = 0	Я1) = 5 У(1) = -1	0,05	[1;3]	у = 5-1пх
5	у"-2у' = 2ех	XI) = "1 /С) = о	ОД	[1;5]	у = е2х~1-2ех +е-1
6	у" + 4у = созЗх	МО) = 0,8 /(0) = 2	ОД	[0;4]	у = со82х + 81п2х--0,2созЗх
7	у" + 2у' + 2у = хе~х	уф) = о /(0) = 0	ОД	[0;4]	у = е~х(х-81пх)
8	(1 + х2)/ + (/)2+1 = 0	Х0) = 1 У(0) = 1	0,05	[0;2]	у = 1-х + 2- 1п(1 + х)
9	у" + 4у' + 4у = 0	У(0) = 1 /(0) = -1	ОД	[0;4]	у = (\ + х)е-2х
10	у"-3у' = е5х	МО) = 2,2 У(0) = 0,8	0,02	[0; 0,8]	у = 2 + 0Хе3х +е5х)

12

11	х2у"-2у = 0	XI) = 0,83 /(1) = 0,66	ОД	[1;5]	;, = 0,5х2+^-
12	у"-5у' + 6у = ех	у(0) = 0 /(0) = 0	0,02	[0; 0,8]	у = 0,5(е3х+ех)-е2х
13	у" + у = \ + еХ	Я0) = 2,5 У(0) = 1,5	ОД	[0;4]	У = СО8Х + 8ШХ + + 0,5ех+1
14	х2у" + 2,5ху'-у = 0	XI) = 2 /С) = 3,5	ОД	[1;5]	у = ъ4х X
15	у" + у = Х2 -Х + 2	Ж> = 1 /(0) = 0	ОД	[0;4]	У = СО8Х + 8ШХ + + х2-х
16	у"--у' = х X	ЯО = 0 /(1) = 0	0,05	[1;3]	х4 х3 1 у = + 4 3 12

Контрольные вопросы

1. Дайте определение обыкновенного дифференциального уравнения. Что значит решить дифференциальное уравнение?

2. Сформулируйте задачу Коши для одного дифференциального уравнения и для системы дифференциальных уравнений.

3. В чем состоит суть численных методов решения обыкновенных дифференци­ альных уравнений?

4. Охарактеризуйте метод Эйлера.

5. Опишите методы Рунге-Кутта.

Литература основная: [1, 2, 5, 9, 10]; дополнительная: [13, 16-18].

Практическое задание к теме 7. Численное решение краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений

Цель задания: изучение разностных методов решения краевой задачи для обыкно­венных дифференциальных уравнений, практическое решение уравнений на ЭВМ. Задания к работе.

1. Составить схемы алгоритмов решения краевой задачи для обыкновенных диф­ ференциальных уравнений методом конечных разностей.

2. Написать, отладить и выполнить программы решения дифференциального уравнения с указанными краевыми условиями методом конечных разностей. Исход­ ное уравнение заменить центрально-разностными отношениями. Полученную сис­ тему решить методом прогонки.

3. Результаты расчетов оформить в виде графика или таблицы.

1. х²у"

2. /' +

Варианты заданий

= 0, у(2) = 0,2402.

		0,0		0,2		0,4		0,6		0,8		1,0
Я*,-)	-1	,7930	-1	,7863	-1	,7832	-1	,7838	-1	,7878	-1	,7953

13

3. ' + 0,5х/-

   2ху'

   у

4. у

5- у

6. у

V- у

8- у 9. >

10. 11.

у(\) = 1,367 .

' = 4х, М0)^:

1-Зх²

= 1,367. = 0.

х^+2,5* 1

10-4х

3,5 + зт²2,2х

= 1,367.

з'

(2-х)

М0) = :

М0) = 1,

1(х)у +у<	/О8(	0,75х) =	2х	+ 2х-	4,	М°) =		М1) =	с
*,■		0,0		0,2		0,4		0,6			0,8		1,0
	-1	,6184	-1	,5994	-1	,5838	-1	,5714		-1	,5630	-1	,5555

	0,0	0,2	0,4	0,6	0,8	1,0
А*,-)	-1,4747	-1,4480	-1,4246	-1,4043	-1,3869	-1,3722

У

12.

/х²+4

13. у" + у = 2х-п,

14. у" + 4у' + 4у = хе ,

15. /'-5/ = Зх²+зш5х,

16. у"+Г(х)}

= 0,9688, МО) = 3,0200, ^(0,5) = 14,0755

Контрольные вопросы

1. Сформулируйте краевую задачу для обыкновенного дифференциального урав­ нения.

2. Дайте определение краевым условиям 1-го рода, 2-го рода и 3-го рода. Какие краевые условия называются однородными?

3. Охарактеризуйте метод конечных разностей.

4. В чем состоит суть метода прогонки?

5. Дайте оценку погрешности метода конечных разностей для краевой задачи. Как определяется приближенная оценка погрешности?

Литература основная: [1, 2, 5, 9, 10]; дополнительная: [13, 16-18].

Контрольные вопросы к теме 8. Обзор методов решения уравнений в частных производных

1. Какие физические процессы описывают уравнения в частных производных ги­ перболического типа? Параболического типа? Эллиптического типа?

2. Какая задача называется маршевой?

3. Дайте формулировку корректно поставленной задачи?

4. В чем состоит суть метода конечных разностей для уравнений в частных произ­ водных?

5. Какая конечно-разностная схема называется согласованной?

14

6. Дайте формулировку теоремы Лакса об эквивалентности.

7. Укажите методы построения конечно-разностных схем.

8. Из чего складывается погрешность решения разностным методом уравнения в частных производных?

9. Какая конечно-разностная схема называется сильно неустойчивой (устойчи­ вой)? Слабо неустойчивой (устойчивой)?

10. Дайте определение условия Куранта-Фридрихса-Леви. Каков физический и геометрический смысл данного условия?

11. Сформулируйте задачу Дирихле для уравнения Лапласа.

12. Какому типу граничных условий соответствует задача Неймана? Задача Робина? Литература основная: [1-3, 5, 8]; дополнительная: [11, 12, 17, 18].

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ И ЗАДАНИЯ для выполнения контрольной работы студентами заочной формы обучения

Контрольная работа предназначена для студентов заочной формы обучения и по­зволяет увеличить объем знаний путем самостоятельного изучения дополнительного материала и проверки уже полученных знаний. В ходе подготовки к контрольной работе рекомендуется использовать данный УМК по дисциплине. Контрольная ра­бота выполняется студентом в межсессионный период и защищается у руководите­ля. Студенты, не выполнившие контрольную работу, не допускаются к сдаче зачета. Работа должна быть оформлена в печатном виде. Титульный лист контрольной ра­боты должен быть оформлен в соответствии с установленными требованиями для подготовки контрольных работ.

Номера вопросов контрольной работы выбираются в зависимости от первой бук-вы фамилии студента:

А-В	1,11	О-Р	6,16
г-д	2, 12	С-Т	7,17
Е-3	3,13	У-Х	8,18
И-К	4, 14	ц-ш	9, 19
Л-Н	5,15	щ-я	10,20

1. Источники и виды погрешностей. Абсолютная и относительная погрешности.

2. Интерполирование функции многочленами Лагранжа и Ньютона.

3. Интерполирование сплайн-функциями. Метод наименьших квадратов.

4. Вычисление определенного интеграла по составным формулам (формулы пря­ моугольников, трапеции и Симпсона).

5. Квадратурные формулы интерполяционного типа. Метод Гаусса вычисления определенного интеграла.

6. Интегрирование с помощью степенныхрядов.

7. Точностные оценки формул интегрирования, выбор шага интегрирования.

8. Метод Рунге апостериорной оценки погрешности вычисления определенного интеграла. Метод двойного пересчета.

9. Семейство методов Гаусса решения системы линейных алгебраических уравнений.

10. Решение системы линейных алгебраических уравнений специального вида ме­ тодом прогонки.

11. Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Якоби (про­ стой итерации) и Зейделя

15

12. Численные методы решения нелинейных уравнений.

13. Методы простой итерации и Ньютона для системы нелинейных уравнений.

14. Численное решение задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка. Постановка исходной задачи.

15. Построение разностной схемы. Разностная аппроксимация дифференциальных операторов. Оценка погрешности конечно-разностных методов.

16. Методы Эйлера и Рунге-Кутта решения задачи Коши для обыкновенных диф­ ференциальных уравнений.

17. Общая формулировка многошаговых методов для численного решения обык­ новенных дифференциальных уравнений.

18. Интегрирования дифференциальных уравнений с помощью степенных рядов.

19. Краевая задача для обыкновенного дифференциального уравнения. Постанов­ ка задачи. Метод конечных разностей для линейных дифференциальных уравнений второго порядка.

20. Аналитические методы решения задачи Коши для обыкновенного дифферен­ циального уравнения.

Методические указания по выполнению курсовой работы

Курсовая работа предусмотрена учебным планом и является учебным элементом дисциплины. Выполнение курсовой работы - важное звено в организации самостоя­тельной работы студентов. Она способствует глубокому усвоению принципов по­строения численных методов решения экономических и инженерно-экономических задач; приобретению опыта осуществления научно-исследовательской работы.

Студенты выполняют курсовую работу самостоятельно под руководством препо­давателя. Студент, не представивший в установленный срок курсовую работу или не защитивший её, считается имеющим академическую задолженность и не может быть допущен к сдаче экзамена по дисциплине «Численные методы».

Примерная тематика курсовых работ

1. Построение по имеющейся таблице данных эмпирических формул с использо­ ванием метода наименьших квадратов.

2. Нахождение корней нелинейного уравнения методом обратного интерполирования.

3. Численное исследование систем массового обслуживания.

4. Интерполяция исходных табличных данных сплайн-функциями.

5. Приближенное вычисление определенного интеграла по формулам прямо­ угольников, трапеции и Симпсона, сравнение формул интегрирования.

6. Численное решение системы нелинейных уравнений итерационными методами.

7. Численное моделирование надежности функционирования сложных систем.

8. Построение численных схем решения системы линейных алгебраических уравнений с использованием прямых методов.

9. Вычисление интегралов с бесконечными пределами.

10. Численное решение системы линейных алгебраических уравнений с трехдиа- гональной матрицей коэффициентов.

11. Численное решение нелинейных дифференциальных уравнений 2-го порядка методом конечных разностей.

12. Решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений методом Рунге-Кутта 4-го порядка.

16

13. Построение численных схем решения задачи Коши для обыкновенных дифферен­ циальных уравнений с использованием неявного двухшагового метода Адамса.

14. Численное решение краевой задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений методом конечных разностей.

15. Численное решение модельных дифференциальных уравнений в частных про­ изводных методом сеток.

УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ

Литература основная

1. Бабенко К.И. Основы численного анализа. - М.: Наука, 1986.

2. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.Н. Численные методы. - М.: Лаборато­ рия базовых знаний, 2002.

3. Копченова Н.В., Марон И.А. Вычислительная математика в примерах и задачах. - М.: Наука, 1972.

4. Косарев В.И. 12 лекций по вычислительной математике. - М.: Физматлит, 2000.

5. Петров И.Б., Лобанов А.И. Лекции по вычислительной математике. Учебное по­ собие. - М.: Лаборатория базовых знаний, 2006.

6. Протасов И.Д. Лекции по вычислительной математике. - М.: Гелиос АРВ, 2004.

7. Рябенький В.С. Введение в вычислительную математику. - М.: Физматлит, 2000.

8. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. - М.: Наука, 1989.

9. Турчак Л.И., Плотников П.В. Основы численных методов. - М.: Физматлит, 2005.

10. Формалев В.Д., Ревизников Д.Л. Численные методы. - М.: Физматлит, 2006.

дополнительная

11. Андерсон Д., Таннехилл Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидромеханика и теп­ лообмен. Т.1. - М.: Мир, 1990.

12. Власова Е.А., Зарубин В.С, Кувыркин Г.Н. Приближенные методы математи­ ческой физики. - М.: Изд-во Н.Э. Баумана, 2001.

13. Дьяченко В.Ф. Основные понятия вычислительной математики. - М.: Наука, 1977.

14. Измаилов А.Ф. Численные методы оптимизации. - М.: Физматлит, 2005.

15. Меньшиков И.С. Лекции по теории игр и экономическому моделированию. - М.:МЗ-Пресс,2006.

16. Ортега Дж., Пул У. Введение в численные методы решения. - М.: Наука, 1986.

17. Романко В.К. Разностные уравнения. - М.: Бином. Лаборатория знаний, 2006.

18. Самарский А.А. Введение в численные методы. - М.: Наука, 1987.

19. Сборник задач по методам вычислений. Под ред. Монастырного П.И. - Минск: Изд-во БГУ, 1983.

20. Уткин В.Б., Балдин К.В., Рукосуев А.В. Математика и информатика. - М.: Даш­ ков и К, 2006.

Журналы

21. Алгоритмы и программы.

22. Вестник Московского университета. Серия 15. Вычислительная математика и кибернитика.

23. Вычислительные технологии.

24. Журнал вычислительной математики и математической физики.

25. Математическое моделирование.

17

26. Прикладная математика и механика.

27. Программирование.

28. Сибирский журнал вычислительной математики.

29. Экономика и математические методы.

30. Ма1;петайса1 Рго§гаттт§.

Электронные ресурсы

31. пйр:/Лулулу.тт.га8.га 33. ппр:/Лулулу.ехропеп1;а.га

32. Ьйр:/Лулулу-р8Ъ.ас1-8Ъга8.п8с.га 34. Ыхр://

Перечень наглядных и других пособий, методических указаний по проведению учебных занятий

Лекционные занятия по дисциплине «Численные методы» проводятся на основе материалов, представленных в учебно-методическом комплексе и другой литерату­ре. На практических занятиях используются тестовые и практические задания на­стоящего УМК.

Перечень специализированных аудиторий, кабинетов и лабораторий

для проведения учебных занятий

Практические занятия по данной дисциплине требуют аудиторий, обеспеченных ком­пьютерной техникой, лекционные занятия проводятся с использованием проектора ЗМ-9550. В процессе текущего контроля предполагается компьютерное тестирование.

ФОРМЫ ТЕКУЩЕГО, ПРОМЕЖУТОЧНОГО И ИТОГОВОГО КОНТРОЛЯ