Тема 7. Численное решение краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений

Постановка краевой задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод конечных разностей. Оценка погрешности метода конечных разностей для краевой задачи. Метод конечных разностей для нелинейного дифференциального уравнения 2-го порядка.

Тема 8. Обзор методов решения уравнений в частных производных

Физическая и математическая классификация уравнений с частными производными. Метод конечных разностей. Консервативная конечно-разностная схема. Погрешность аппроксимации, сходимость решения маршевых задач. Теорема Лакса.

ЗАДАНИЯ ДЛЯ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ Раздел 1. Методы решения задач алгебры и математического анализа

Задачи к теме 1. Погрешность результата численного решения задачи

1. Округляя следующие числа до трех значащих чисел, определить абсолютную и относительную погрешности полученных приближенных чисел.

а) 2,1514; 6)0,16152; в) 0,01204; г) 1,225; д)-0,0015281.

Абсолютные погрешности измерения величин а и b равны а и b. Найти абсолютные и относительные погрешности величин а± b, а- b и а/ b, полагая погрешности малыми по сравнению с основными величинами. Чем выделяется случай а— b среди остальных?

2. Определить абсолютную погрешность следующих приближенных чисел по их относительным погрешностям 8.

а) а=13267, 5=0,1%; б) а=2,32, 5=0,7%; в) а=35,72, 5=1%;

г) а=0,896, 5=10%; д) а=232,44, 5=1%.

4. Решить уравнение х² + 0,4002.x + 0,00008 = 0,выполняя вычисления с 4-мя знаками, с 8-ю знаками. Какова абсолютная и относительная погрешности результата?

5. Найти сумму приближенных чисел и указать их погрешности.

а) 0,145+321+78,2 (все знаки верные); б) 0,301+193,1+11,58 (все знаки верные);

в) 398,5-72,28+0,34567 (все знаки верные);

г) 203,5+0,567+17,12 (все знаки верные);

д) х₁+х₂-х₃,гдех1=197,6, x₁=0,2, х₂=23,44, х₂=0,22, х₃=201,55, х₃=0,17.

6. Каждое ребро куба, измеренное с точностью до 0,02 см, оказалось равным 8 см. Найти абсолютные и относительные погрешности вычисления объема куба.

7. Вычислить значение z = ln(10,3 + ), считая верными все знаки приближенных чисел х = 10,3 и у = 4,4.

8. С каким числом верных знаков следует взять значение аргумента х, чтобы по­ лучить значения указанных функций с точностью до 10^-6.

а) , ; б) , ; в) , ;

г) , ; д) , .

9. С каким числом верных знаков должен быть известен свободный член уравнения х² - 2х +lg2 = 0, чтобы получить корни с 4-мя верными знаками?

Литература основная: [2, 3, 5, 9, 10]; дополнительная: [13, 16, 18-20].

Практическое задание к теме 2. Интерполирование функций

Цель задания: изучение методов интерполирования функций, сравнительный анализ рассмотренных методов, практическое интерполирование функций на ЭВМ. Задания к работе.

1. Разработать схемы интерполирования функций методами Лагранжа, Ньютона, наименьших квадратов.

2. Написать, отладить и выполнить программы интерполирования функций (табл.1). Интерполирование провести любым из известных методов интерполирова-ния функций. Построить интерполяционную кривую и найти значение функции в указанной точке (в соответствии с вариантом задания).

Таблица 1

				Значения
	№1	№2	№3	№4	№5	№6	№7	№8
	х= -3,5	х=0,5	х=1,25	х=0,75	х=3,12	х=8,25	х= -7,4	х=1,8
-9	0,1	120	53	-121	12	-140	14	-170
-8	-0,1	88	44	-90	7	-97	10	-122
-7	-1	63	35	-65	3	-67	7	-82
-6	-1	44	28	-45	0	-44	4	-51
-5	-1,5	28	23	-31	-2	-28	2	-36
-4	-1,1	16	16	-18	-3,3	-15	0	-19
-3	-0,5	8	11	-10	-4	-8	-1	-9
-2	-0,4	2	8	-4	-4,4	-5	-2	-3
-1	0	0	5	-1	-3,6	-3	-1	0
0	1	-1	4	0	-2	-2	-1	1
1	2	-2	3	0	0,4	-0	0	3
2			4	1	3,6	2		4
3	4	-3	7	2	7	8	4	7
4	6	-4	8	3	12	19	8	14
5	8	-6	13	5	18	32	11	26
6	10	-11	16	9	24	54	15	45
7	12	-18	21	16	31	83	20	67
8	15	-28	28	27	39	123	27	98
9	18	-42	37	41	48	169	32	139
10	21	-61	44	60	58	228	39	191

				Значения
Хг	№9	№10	№11	№12	№13	№14	№15	№16
	х=7,5	х=-1,3	х=1,97	х=9,14	х=3,2	х=5,43	х= - 4,2	х=8,4
-9	64	40	75	-114	52	159	-47	-203
-8	52	42	63	-77	44	122	-38	-147
-7	42	41	49	-54	34	88	-29	-96
-6	33	37	38	-28	26	60	-20	-53
-5	25	31	28	-14	18	40	-13	-31
-4	17	25	20	-4	14	29	-11	-10
-3	11	20	13	-1	8	17	-5	2
-2	7	14	7	0	6	8	-2	10
-1	4	8	6	-1	4	2	0	15
0	2	5	1	-2	2	1	0	14
1	1	3	0	-2	2	1	2	12
2	1	3	0	-1	2	3	3	9
3	2	7	1	3	5	4	1	7
4	7	15	4	11	8	10	-2	7
5	9	27	8	28	10	11	-7	9
6	14	47	14	46	16	12	-10	18
7	20	67	21	74	20	12	-15	26
8	26	96	33	112	28	9	-24	44
9	37	131	39	159	35	4	-30	70
10	47	175	51	218	42	-4	-37	102

Контрольные вопросы

1. Сформулируйте постановку задачи интерполирования функций, назовите об-­ ласти ее применения.

2. Какую функцию называют аппроксимирующей?

3. Охарактеризуйте интерполяционную формулу Лагранжа.

4. Приведите интерполяционные формулы Ньютона.

5. Приведите оценку остаточного члена для каждой из формул.

6. Опишите метод наименьших квадратов.

Литература основная: [1-4, 9, 10]; дополнительная: [13-15, 18, 19].

Практическое задание к теме 3. Приближенное вычисление интегралов

Цель задания: изучение различных методов вычисления определенных интегра­лов, практическое интегрирование функций на ЭВМ.

Задания к работе.

1. Разработать схемы интегрирования по формулам прямоугольников, трапеций и Симпсона.

2. Написать, отладить и выполнить программы интегрирования функций, приве-денных в табл. 2. Вычисления значения интеграла на отрезке [а, Ь] провести с задан-ной точностью (в соответствии с вариантом задания). Величину шага, обеспечи-вающего требуемую точность, определить с помощью двойного пересчета.

3. Определить относительную погрешность вычислений по формуле:

где I - точное значение интеграла, вычисленное через первообразную функции; - значение интеграла, полученное в результате применения конкретной формулы интегрирования.

Таблица 2

%№ п/п	Подынтегральная функция /(х)	Формулы численного интегрирования	Заданная точность	Интервал [а,Ь]	Первообразная функции Р(х)
I	II	III	IV	V	VI
1		Трапеций		[0;2]
2	x sin 2x	Симпсона
3		Симпсона		[0;1]
4		Симпсона		[1;5]
5		Трапеций
6		Симпсона		[0,2; 1]
7		Симпсона		[0;1]
10	агсtg х	Симпсона		[0;1]
11	x ln x	Симпсона		[2; 6]
12		Трапеций
13		Симпсона		[0;3]
14		Симпсона
15		Трапеций		[1;7]
16		Трапеций		[1;3]

Контрольные вопросы

1. В чем состоит суть методов численного интегрирования функций?

2. Опишите формулу прямоугольников.

3. Охарактеризуйте метод трапеций.

4. Опишите формулу Симпсона.

5. Приведите оценку погрешности для каждого из методов на частичном отрезке и на всем интервале интегрирования.

6. Проведите сравнение формул численного интегрирования по точности на осно­ вании остаточных членов формул.

7. Как оценивается погрешности приближенного вычисления интегралов по пра­ вилу Рунге?

Литература основная: [2-4, 6, 8]; дополнительная: [13, 16, 18-20].

Практическое задание к теме 4. Численное решение систем линейных алгебраических уравнений

Цель задания: изучение численных методов решения систем линейных алгебраических уравнений, практическое решение систем на ЭВМ.

Задания к работе.

1. Составить схемы алгоритмов решения систем линейных алгебраических урав-нений методами Гаусса, простой итерации и Зейделя.

2. Написать, отладить и выполнить программы решения систем линейных алгеб-раических уравнений, записанных в векторно-матричной форме А х = b и приведен-ных в табл. 3. Четным вариантам решить систему методом Гаусса с выбором глав-ного элемента. Остальным - методом Зейделя.

3. Вычислить точностные оценки методов по координатам , где координаты точного решения; х_i - координаты численного решения.

Таблица 3

№ п/п	Матрица коэффициентов системы А	Столбец свободных членов b	Точное решение х
I	II	III	IV
1	4,52 -9,11 2,24 1,72 3,56 -6,75 14,28 2,07 -9,34 4,13 0,98 3,00 1,64 2,32 -1,80 7,12	-6,77 - 22,25 3,99 20,08	0,5 1,0 -1,5 2,0
2	0,31 0,14 0,30 0,27 0,26 0,32 0,18 0,24 0,61 0,22 0,20 0,31 0,40 0,34 0,36 0,17	1,02 1,00 1,34 1,27	1 1 1 1
3	1,32 2,06 -3,40 7,11 -9,13 5,84 1,21 0,76 3,12 -8,14 2,51 -1,13 0,77 0,17 2,32 1,10	30,17 3,62 -19,06 2,09	1 2 -1 3
4	2,01 1,00 -0,24 1,31 0,45 2,36 0,58 3,22 0,30 -1,08 1,00 -2,34 1,12 0,24 2,55 -1,11	1,98 3,69 3,48 10,36	1 2 3 -1
5	1,14 -5,03 3,01 0,12 4,77 1,03 0,58 -1,17 2,11 1,17 4,89 0,88 0,14 -0,18 1,28 2,10	-10,91 12,19 0,79 -3,46	2 2 -1 -1
6	0,74 -0,62 2,11 0,55 0,50 0,98 1,79 0,09 -0,73 0,25 2,07 1,00 1,00 -0,85 1,95 0,15	3,18 0,56 -2,89 5,20	2 -2 1 -3
7	3,1 1,5 1,1 -0,5 -2,0 5,1 0,4 1,6 0,8 2,2 0,9 4,7 -0,1 3,2 6,2 1,8	9,70 4,71 0,18 16,43	1,3 1,7 2,2 -1,4
8	2,12 0,42 1,34 0,88 0,42 3,95 1,87 0,43 1,34 1,87 2,98 0,46 0,88 0,43 0,46 4,44	11,172 0,115 9,009 9,349	3,7 -1,5 2,2 1,3
9	1,85 0,70 -0,12 -0,18 0,16 0,19 0,79 0,11 1,13 2,77 0,18 -0,20 1,14 1,01 0,55 3,22	8,41 -0,23 13,91 9,58	3 4 -2 1
10	6,1 -2,2 -1,2 -3,3 7,2 0,9 1,8 -4,1 2,8 3,3 1,1 2,5 -1,5 1,0 6,3 0,8	-0,50 -2,15 14,30 -14,00	1,5 2,0 -2,5 2,5
11	3,82 1,02 0,75 0,81 1,05 4,53 0,98 1,53 0,73 0,85 4,71 0,81 0,88 0,81 1,28 3,50	16,855 22,705 22,480 16,110	2,5 3,0 3,5 2,0
12	0,15 2,11 3,75 8,14 0,64 1,21 2,05 -0,99 3,21 1,53 -1,04 -3,18 0,77 1,22 1,18 2,25	16,60 -2,25 -5,47 4,99	-1 2 -1 2
13	1,15 0,42 10,10 4,25 1,59 0,55 -0,32 0,29 1,14 3,15 2,05 7,86 0,77 6,11 -3,01 0,74	15,08 1,01 7,90 -7,61	1 -1 1 1
14	1,02 -0,25 -0,30 -4,11 0,41 1,13 -0,15 0,77 0,85 2,17 1,21 6,27 3,44 -4,33 0,50 1,42	7,42 0,57 -6,99 -11,00	0 2 1 -2
15	5,9 1,2 2,1 0,9 1,2 7,2 1,5 2,5 2,1 1,5 9,8 1,3 0,9 2,5 1,3 6,1	2,0 5,3 10,3 12,6	-1 0 1 2
16	0,28 10,36 -0,60 2,70 -2,70 -1,36 -0,72 3,85 2,92 3,06 1,11 2,57 0,97 2,94 2,61 -13,40	23,56 -11,60 11,40 47,03	1 3 4 2

Контрольные вопросы

1. Когда система линейных алгебраических уравнений имеет единственное решение?

2. Каковы недостатки решения системы уравнений по правилу Крамера?

3. Охарактеризуйте точные и приближенные численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений.

4. Опишите метод Гаусса с выбором главного элемента.

5. Почему метод простой итерации называется самоисправляющимся?

6. Дайте определение сходимости итерационного процесса.

7. Опишите метод Зейделя.

Литература основная: [1, 2, 4, 6, 9, 10]; дополнительная: [13-16, 19, 20].

Практическое задание к теме 5. Решение нелинейных уравнений

Цель задания: изучение методов решения нелинейных алгебраических и транс­цендентных уравнений, практическое решение уравнений на ЭВМ. Задания к работе.

1. Составить схемы алгоритмов решения нелинейных уравнений f(х) = 0 методами деления отрезка пополам, простой итерации и Ньютона.

2. Написать, отладить и выполнить программы решения нелинейных уравнений, приведенных в табл. 4 (в соответствии с вариантом задания). Нахождение одного из корней уравнения провести любым из вышеназванных методов с точностью до 10^-4 . Интервал изоляции корня найти путем построения эскиза графика функции f (х).

Таблица 4

№ п/п	Уравнение /(х) = 0	№ п/п	Уравнение /(х) = 0
1.	х1 -5§1пх = 0	9.	х4 - 0,486х3 - 5,792х2 + 0,486х + 4,792 = 0
2.	агс81п(2х +1) - х2 = 0	10.	0,1ех-8П12х + 0,5 = 0
3.	х - д/9 + х + х2 - 4 = 0	11.	ОДзшх + х3 -1 = 0
4.	х4 -26х3 + 13Ъс2 -226х + 120 = 0	12.	ех -\0х = 0
5.	2х2+х-7 = 0	13.	0,1х2 -х1пх = 0
6.	ех-2(х-1)2=0	14.	8шх-2х-0,5 = 0
7.	8шх-х + 0,15 = 0	15.	х-1,251пх-125 = 0
8.	у1\-х -Щх = 0	16.	ех-х-1,25 = 0

Контрольные вопросы

1. Назовите основные этапы процесса нахождения корня нелинейного уравнения.

2. Опишите алгоритм метода деления отрезка пополам.

3. Охарактеризуйте метод простой итерации. Как формулируется достаточное условие сходимости данного метода?

4. Опишите алгоритм метода Ньютона. В чем достоинство и недостаток этого метода?

5. Проведите сравнение методов по различным критериям.

Литература основная: [1, 2, 5-7, 10]; дополнительная: [14, 16, 18, 19].