- •Рабочая программа учебной дисциплины
- •Объем дисциплины, виды учебной работы и формы контроля в соответствии с учебным планом специальностей по формам обучения
- •Тема 7. Численное решение краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений
- •Тема 8. Обзор методов решения уравнений в частных производных
- •Раздел 2. Численные методы решения дифференциальных уравнений
- •Тестовые задания
- •Раздел 1. Методы решения задач алгебры и математического анализа
- •1. Чем вызвана неустранимая погрешность?
- •3. Пусть а - точное, а - приближенное значение некоторого числа. Дайте опре деление относительной погрешности.
- •7. Чем обусловлено появление погрешности округления при численном реше нии поставленной задачи?
- •8. Дайте определение сплайн-функции.
- •9. Сформулируйте постановку задачи интерполирования функции.
- •15. Назовите достоинства и недостатки интерполяционных формул Лагранжа.
- •16. В чем состоит сущность метода наименьших квадратов?
- •17. Когда удобно пользоваться интерполяционной схемой Эйткена?
- •19. Назовите области применения интерполирования функций.
- •С какой точностью можно вычислить по интерполяционной формуле Ла гранжа 1п 100,5 по известным значениям 1п 100, 1п 101, 1п 102 и 1п 103. А)4,5-10"5; б)6,7-10"7; в)2,3-10"9.
- •23. Опишите методику вычисления определенного интеграла по формулам прямоугольников.
- •25. Определить величину шага к по оценке остаточного члена для вычисления
- •26. Назовите области применения формул численного интегрирования.
- •29. Выбор шага интегрирования для обеспечения заданной точности вычисле ния интеграла с помощью метода двойного пересчета.
- •30. Проведите сравнение формул численного интегрирования по точности на основании остаточных членов формул.
- •32. Отличие метода Гаусса с выбором главного (ведущего) элемента от метода Гаусса решения системы линейных алгебраических уравнений.
- •33. В чем преимущество метода Зейделя для решения системы линейных ал гебраических уравнений перед методом простой итерации?
- •34. Для решения систем линейных алгебраических уравнений какого вида раз работан метод прогонки?
- •35. Опишите метод Гаусса решения системы линейных алгебраических уравнений.
- •36. Почему метод простой итерации решения систем линейных алгебраических уравнений называется самоисправляющимся?
- •37. Каковы недостатки решения системы уравнений по правилу Крамера?
- •38. Опишите метод Якоби (простой итерации) решения системы линейных ал гебраических уравнений.
- •39. Опишите метод деления отрезка пополам.
- •41. В чем достоинство и недостаток метода Ньютона нахождения корней нели нейного уравнения?
- •43. Решение нелинейного уравнения методом простой итерации.
- •44. Проведите сравнение методов деления отрезка пополам (доп) и Ньютона по различным критериям (универсальность, скорость сходимости).
- •45. Назовите основные этапы процесса нахождения корня нелинейного уравнения.
- •Раздел 2. Численные методы решения дифференциальных уравнений 1. В чем достоинство неявных методов решения дифференциальных уравнений?
- •3. Оценить погрешность аппроксимации правой разностной производной
- •4. Численное решение методом Эйлера задачи Коши для обыкновенных диф ференциальных уравнений.
- •5. Почему метод Рунге-Кутта называется самостартующим?
- •6. Опишите построение разностной схемы для численного решения обыкно венного дифференциального уравнения.
- •7. Разностная аппроксимация дифференциальных операторов.
- •8. Оценить погрешность аппроксимации центральной разностной производной
- •9. Какой метод численного решения дифференциального уравнения называет ся многошаговым?
- •10. Опишите сущность разностной аппроксимации задачи Коши для обыкно венного дифференциального уравнения первого порядка.
- •11. Оценить погрешность аппроксимации левой разностной производной
- •14. Какая конечно-разностная схема, аппроксимирующая дифференциальное уравнение в частных производных, называтся согласованной?
- •15. Какая задача для уравнений в частных производных называется корректно поставленной?
- •16. Физический смысл условия Куранта-Фридлихса-Леви.
- •17. Какая конечно-разностная схема называется слабо неустойчивой (устойчивой)?
- •18. Какие физические процессы описывают уравнения в частных производных эллиптического типа?
- •19. Укажите методы построения конечно-разностных схем, аппроксимирующих дифференциальное уравнение в частных производных.
- •20. Дайте определение маршевой задачи для уравнений в частных производных.
Объем дисциплины, виды учебной работы и формы контроля в соответствии с учебным планом специальностей по формам обучения
очная форма обучения
Общие часы - 144ч. Аудиторные занятия - 56 ч.
Лекции - 18 ч. Практические занятия - 38 ч.
Самостоятельная работа - 61 ч.
Формы текущего и итогового контроля - опрос, выполнение практических и контрольных работ, тестирование, экзамен.
ТЕМАТИЧЕСКИЕ ПЛАНЫ
очная форма обучения
Наименование разделов и тем |
Всего |
В том числе |
|||||
аудиторные |
СРС |
||||||
всего |
лекц. |
практ. |
всего |
без преп. |
с преп. |
||
Раздел 1. Методы решения задач алгебры и математического анализа |
|||||||
Тема 1. Погрешность результата численного решения задачи |
13/16 |
6/2 |
2/1 |
4/1 |
7/14 |
1 |
6 |
Тема 2. Интерполирование функций |
18/18 |
8/2 |
4/1 |
4/1 |
10/16 |
2 |
8 |
Тема 3. Приближенное вычисление интегралов |
20/18 |
12/2 |
6/1 |
6/1 |
8/16 |
2 |
6 |
Тема 4. Численное решение систем линейных алгебраических уравнений |
18/18 |
10/2 |
4/1 |
6/1 |
8/16 |
2 |
6 |
Тема 5. Решение нелинейных уравнений |
16/18 |
8/2 |
4/1 |
4/1 |
8/16 |
2 |
6 |
Раздел 2. Численные методы решения дифференциальных уравнений |
|||||||
Тема 6. Численные методы решения задачи Ко-ши для обыкновенных дифференциальных уравнений |
24/26 |
14/4 |
8/2 |
6/2 |
10/22 |
2 |
8 |
Тема 7. Численное решение краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений |
24/26 |
12/2 |
6/1 |
6/1 |
12/24 |
2 |
10 |
Тема 8. Обзор методов решения уравнений в частных производных |
7 |
2 |
2 |
|
5 |
1 |
4 |
Итого |
140/140 |
72/16 |
36/8 |
36/8 |
68/124 |
14 |
54 |
СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
Раздел 1. Методы решения задач алгебры и математического анализа
Тема 1. Погрешность результата численного решения задачи
Источники и классификация погрешности. Запись чисел в ЭВМ. Приближенные числа, их абсолютные и относительные погрешности. Арифмитические действия с приближенными числами. Погрешность функции. Определение допустимой погрешности аргументов по допустимой погрешности функции.
Тема 2. Интерполирование функций
Постановка задачи интерполирования функции. Интерполяционный многочлен Лагранжа. Оценка остаточного члена интерполяционного многочлена Лагранжа.
Схема Эйткена. Разделенные разности и их свойства. Интерполяционная формула Ньютона. Интерполирование сплайн-функциями. Метод наименьших квадратов. Обратное интерполирование.
Тема 3. Приближенное вычисление интегралов
Постановка задачи численного интегрирования. Вычисление определенного интеграла по формулам прямоугольников, трапеции, Симпсона. Точностные оценки формул интегрирования, выбор шага интегрирования. Квадратурные формулы Нью-тона-Котеса. Ортогональные многочлены. Правило Рунге практической оценки погрешности. Квадратурные формулы Гаусса.
Тема 4. Численное решение систем линейных алгебраических уравнений
Основные понятия. Метод Гаусса решения системы линейных алгебраических уравнений. Схема Гаусса с выбором главного элемента. Решение системы линейных алгебраических уравнений специального вида методом прогонки. Метод простой итерации, особенности реализации данного метода на ЭВМ. Метод Зейделя.
Тема 5. Решение нелинейных уравнений
Этапы нахождения корней нелинейного уравнения. Метод деления отрезка пополам. Метод последовательных приближений и смежные вопросы. Метод Ньютона решения нелинейного уравнения. Модифицированный метод Ньютона. Сравнение методов решения нелинейного уравнения поразличным критериям.
Раздел 2. Численные методы решения дифференциальных уравнений Тема 6. Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений
Задача Коши, общие замечания. Разностная аппроксимация задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка. Особенности интегрирования систем уравнений. Построение разностной схемы. Разностная аппроксимация дифференциальных операторов. Методы Эйлера и Рунге-Кутта. Оценка погрешности конечно-разностных методов. Многошаговые методы численного интегрирования дифференциальных уравнений.